e
prendiamo due suoi punti, mettiamo P e Q , di ascissa 
e 
rispettivamente (supponiamo 
). I punti suddetti avranno coordinate :
E-school di Arrigo
Amadori
in collaborazione con :
Associazione Astrofili Cesenati
http://www.astrofilicesena.it/index.html
CORSO DI CULTURA SCIENTIFICA DI BASE
(102') incontro del 31/03/2006
resoconto
01 - Coefficiente angolare di una retta.
Consideriamo sul piano cartesiano la retta di
equazione e
prendiamo due suoi punti, mettiamo P e Q , di ascissa
e
rispettivamente (supponiamo
). I punti suddetti avranno coordinate :
, 
.
Graficamente :
Costruiamo ora il triangolo rettangolo PQH :
e calcoliamo le lunghezze dei segmenti PH e QH . Abbiamo ovviamente :
.
Calcoliamo ora il rapporto :
.
Abbiamo allora :
.
Ma, d'altra parte, per le note regole trigonometriche sui triangoli rettangoli, si ha :
,
dove 
è
l'angolo 
, per cui,
in definitiva, possiamo scrivere :
.
Graficamente :
Si noti l'orientazione dell'angolo indicato dalla freccia !!!
Abbiamo così ricavato la fondamentale proprietà che :
il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente trigonometrica dell'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x misurato in senso antiorario (in senso trigonometrico, così come definito nel cerchio trigonometrico).
Ovviamente, il rapporto
è indipendente dalla scelta dei punti P e Q .
In questa enunciazione, per esigenza di generalità, abbiamo fatto esplicito riferimento alla necessità di orientare l'angolo in oggetto come si fa nel cerchio trigonometrico. In effetti, è come se vi fosse un cerchio trigonometrico implicito con centro nel punto P :
Se la retta fosse decrescente, avremmo, come ben
sappiamo, un coefficiente angolare negativo. Infatti, in questo caso, la
tangente di un angolo ottuso (compreso fra un angolo retto ed un angolo
piatto) è negativa. Ecco perché si orienta l'angolo
in senso trigonometrico.
Graficamente :
La proprietà presentata in questo paragrafo è fra le più importanti in assoluto di tutta la matematica perché, come vedremo, è legata alla pendenza (derivata) di una curva.
02 - Esercizio sulla determinazione dell' angolo fra due rette.
Consideriamo le rette di equazione 
e 
. Calcolare
l'angolo che esse formano incontrandosi. Graficamente :
L'angolo fra le due rette è 
e vale :
essendo 
l'angolo che la retta
forma con il semiasse positivo delle x in senso antiorario e 
l'angolo che la retta
(di maggiore pendenza) forma con il medesimo semiasse.
Ovviamente, gli angoli fra due rette incidenti sono quattro,
uguali a due a due (opposti al vertice) e tali da formare un angolo giro.
Essendo tali angoli "legati" fra loro, basterà trovarne uno. Noi
abbiamo scelto l'angolo
indicato in figura.
A causa della proprietà del coefficiente angolare possiamo scrivere :
.
Ricaviamo quindi in radianti (approssimando con l'uso di un calcolatore) :
.
Di conseguenza troviamo :
che è l'angolo cercato naturalmente espresso in radianti.
03 - Esercizio per casa.
Dati sul piano cartesiano i punti A(1 , 1) , B(2 , 3) , C(4 , 2) , determinare le lunghezze dei lati del triangolo ABC e le ampiezze dei suoi angoli.
04 - Audiovisivo sulle onde elettromagnetiche.
Abbiamo preso visione dell'audiovisivo del PSSC sulle onde elettromagnetiche. Esso verte sulla dimostrazione dell'unicità fisica dello spettro elettromagnetico. Nel film si dimostra come radiazioni elettromagnetiche di differente frequenza (raggi x, luce, microonde, onde radio) e di apparentemente diversa natura, in effetti siano una stessa "entità" soggetta agli stessi fenomeni e proprietà quali velocità, trasversalità, interferenza, polarizzazione ecc.. In particolare, vengono mostrati alcuni esperimenti in cui si verifica interferenza per onde di diversa frequenza.
Fine.