E-school di Arrigo
Amadori
in collaborazione con :
Associazione Astrofili Cesenati
http://www.astrofilicesena.it/index.html
CORSO DI CULTURA SCIENTIFICA DI BASE
(100') incontro del 17/03/2006
resoconto
01 - Altre formule trigonometriche.
- 1 - Duplicazione.
Le formule trigonometriche che esprimono seno, coseno e tangente dell'angolo doppio di un angolo dato sono di immediata derivazione dalle formule per la somma. Abbiamo :
dove il simbolo 
significa 
, 
significa 
e 
significa 
.
Le formule appena scritte si ricavano dalle formule trigonometriche della somma
semplicemente ponendo 
. Infatti :
ed analogamente per coseno e tangente.
- 2 - Triangoli rettangoli.
La trigonometria applicata ai triangoli rettangoli assume un ruolo molto importante. Consideriamo il triangolo rettangolo :
Si noti che, per comodità d'uso, abbiamo indicato con 
l'angolo in A , con 
l'angolo in B (che è qui l'angolo retto) e con 
l'angolo in C . Inoltre, il cateto a è quello opposto
all'angolo , il
cateto c è quello opposto all'angolo
e l'ipotenusa b è opposta all'angolo retto
.
Consideriamo ora il triangolo A'B'C' costruito sul cerchio trigonometrico ed avente gli stessi angoli del il triangolo ABC disegnato sopra.
I due triangoli ABC e A'B'C' sono simili (stessi angoli, quindi stessa "forma") per cui hanno i lati in proporzione. Possiamo perciò scrivere :
.
La spiegazione di queste formule è immediata. Basta considerare la proporzione :
AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C'
tenendo presente che A'C' = 1.
Le formule relative alle tangenti si ricavano direttamente dividendo seno e coseno.
Queste formule sono di grande importanza. Esse possono essere riassunte "a parole" nel seguente modo :
- un cateto è uguale all'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto o per il coseno dell'angolo adiacente (al cateto stesso, non considerando l'angolo retto)
- il rapporto fra due cateti è uguale alla tangente dell'angolo opposto al primo
Fra le varie applicazioni di queste formule, ricordiamo che esse possono essere utilizzate per risolvere un triangolo rettangolo, cioè per ricavare lati ed angoli partendo da alcuni dati noti.
Per esempio, consideriamo il triangolo rettangolo di cui conosciamo a = 2 e c = 3 :
(proporzioni grafiche fra cateti non rispettate)
L'ipotenusa b è ricavabile direttamente con il teorema di Pitagora. Si ha quindi :
.
Per ricavare gli angoli
e
possiamo scrivere :
da cui :
.
Si tratta di due equazioni trigonometriche (le incognite sono angoli "dentro" funzioni trigonometriche !!!) la cui soluzione esatta è possibile solo in pochissimi casi. Si ricorre allora all'uso di metodi di approssimazione grafica o numerica, questi ultimi tramite calcolatrici o computers.
Nel nostro caso ricaviamo :
.
Come verifica del risultato possiamo notare che 
come è giusto che sia (la somma degli angoli interni di un triangolo vale un
angolo piatto e
è retto).
Un esempio di equazione trigonometrica risolubile esattamente è 
che fornisce evidentemente 
(come soluzione compresa fra 0 e 
).
Fine.