E-school  di  Arrigo Amadori

in collaborazione con :

Associazione Astrofili Cesenati  http://www.astrofilicesena.it/index.html  

CORSO DI CULTURA SCIENTIFICA DI BASE

(97') incontro del 24/02/2006 

resoconto

01 - Interferenza.

Attorno all'anno 1800, l'eclettico medico inglese Thomas Young compì un esperimento che mise in crisi il modello corpuscolare della luce, modello fino ad allora considerato valido già dai tempi di Newton.

L'esperimento consisteva nel fare passare un sottile fascio di raggi di luce solare bianca, ottenuto tramite una fessura, attraverso due ulteriori strette fessure preticate con un rasoio su una carta da gioco (interessante il "livello" tecnologico dell'esperimento ...) ed osservare l'immagine che si produceva su di uno schermo.

Ciò che si verifica è una figure a frange colorate non nitide (sfumate).

Facendo l'esperimento con luce monocromatica si ottengono frange nitide.

(la luce solare monocromatica può essere ottenuta facendo passare la luce solare attraverso un filtro colorato) 

Questo fenomeno va sotto il nome di interferenza e non può essere spiegato tramite la teoria corpuscolare della luce. Secondo tale teoria, infatti, si dovrebbero ottenere esattamente due frange, essendo due le fessure. 

Quello che si ottiene, invece, sono molte frange chiare e scure ed a colori sfumati.

Il fenomeno può essere invece interpretato alla luce della teoria ondulatoria.

Prima di passare alla spiegazione dell'esperimento di Young in termini di interferenza di onde, è utile fare un'analogia con le onde prodotte sulla superficie di uno specchio d'acqua tramite il lancio di due sassi. Si ottiene così la seguente figura (vista dall'alto) :

Per cresta e gola di un'onda ovviamente intendiamo, per un'onda vista in sezione, un punto di massimo e un punto di minimo così come illustrato dal grafico :

Orbene, se nello stesso punto si sovrappongono due creste di onde d'acqua, si ottiene una cresta alta il doppio :

In questo caso si dice che le onde sono in fase.

Se invece due onde di acqua si sommano in modo che ogni cresta della prima si sovrapponga ad una gola della seconda, si ottiene l'annullamento dell'onda :

In tutti gli altri casi, con sfasamenti generici delle onde che si sovrappongono, si ottengono risultati intermedi.

Ciò che accade per le onde di acqua, accade per ogni altro tipo di onda (onde elettromagnetiche, fra cui la luce, onde acustiche ecc.).

Il sommarsi in modo costruttivo o distruttivo di onde (con tutti i casi intermedi possibili) va sotto il nome di interferenza.

L'esperimento di Young si può spiegare allora come sovrapposizioni di onde.

Immaginiamo l'esperimento visto da sopra e consideriamo che una stessa onda luminosa colpisca le due fessure. La luce del sole è costituita da onde in fase. Se effettuassimo l'esperimento con due lampadine ognuna davanti ad una fessura, non otterremmo nessun fenomeno di interferenza in quanto la luce che colpisce le due fessure, proveniente da sorgenti diverse, non è in generale fase. 

Dalle due fessure si propagheranno onde inizialmente in fase (provengono, come detto sopra, da una medesima onda) che andranno a colpire lo schermo compiendo però in generale cammini diversi. Le onde che compieranno cammini di uguale lunghezza avranno creste in fase e si sommeranno dando creste di altezza doppia (interferenza costruttiva). Le onde che compieranno cammini di lunghezze che differiscono di mezza lunghezza d'onda andranno a sommarsi sullo schermo in modo da avere creste e gole in sovrapposizione e quindi di conseguenza si annulleranno (interferenza distruttiva). I cammini con differenza di una lunghezza d'onda produrranno sullo schermo ancora interferenza costruttiva e così via.

In questo modo si spiega il susseguirsi delle frange che appaiono sullo schermo.

(si noti come abbiamo fatto per indicare la differenza fra la lunghezza dei cammini con la costruzione di un triangolo isoscele)

In un punto in cui avviene l'interferenza costruttiva si ottiene un picco di luce, dove si ha l'interferenza distruttiva si ottiene il buio. Il susseguirsi di luce e buio costituisce le frange di interferenza osservate nell'esperimento.

Con questo "modello" si spiega anche il fenomeno della "sfumatura" dei colori che si rileva sullo schermo. Lo sfumarsi dei colori nelle varie frange dipende dal fatto che la luce bianca è composta da colori diversi che corrispondono a lunghezze d'onda diverse per cui in effetti ogni colore subisce una propria interferenza producendo le suddette sfumature.

Con luce monocromatica si ottengono invece frange nitide.

02 - Formule trigonometriche.

La trigonometria è il capitolo della matematica che studia le relazioni algebriche fra le funzioni circolari (seno, coseno e tangente) con particolare riferimento al cerchio trigonometrico ed ai triangoli.

Iniziamo a presentare qui le principali formule trigonometriche.

        - 1 -    la relazione fra seno, coseno e tangente

Si tratta della già nota formula :

che definisce la tangente.

        - 2 -    la "relazione pitagorica"   

La prima fondamentale relazione trigonometrica si ricava direttamente applicando il teorema di Pitagora.

Osservando il cerchio trigonometrico :

        , 

dalle definizioni di seno e coseno, applicando il teorema di Pitagora, possiamo scrivere :

da cui :

dove la scrittura    significa "il quadrato del seno di alfa"  ovvero "il seno di alfa al quadrato" , cioè  , così come la scrittura    significa "il quadrato del coseno di alfa"  ovvero "il coseno di alfa al quadrato" , cioè  .

La relazione così trovata, che discende direttamente dal teorema di Pitagora, è di fondamentale importanza perché "lega" i valori di seno e coseno di uno stesso angolo.

Per esempio, se sappiamo che il seno di un angolo è     , siamo in grado di ricavare direttamente il valore del coseno di quell'angolo. 

Se cioè abbiamo :

possiamo scrivere :

da cui si ricava :

ovvero :

        .

Si noti che si ottengono due valori del coseno. Infatti, graficamente :

Gli angoli del "primo giro", cioè compresi fra  0  e  , che hanno il seno uguale a    sono in effetti due , l'angolo    e l'angolo  indicati nel grafico, per cui abbiamo due valori del coseno uguali in modulo ma contrari di segno.

        - 3 -    seno, coseno, tangente dell'angolo   

Dal cerchio trigonometrico :

si nota facilmente che il triangolo  OHP  è rettangolo isoscele per cui il seno ed il coseno di    sono uguali. Per il teorema di Pitagora, possiamo allora scrivere :

dove con  x  abbiamo indicato sia il seno che il coseno di  .

Abbiamo allora :

cioè :

ovvero :

        .

Dei due valori scegliamo il positivo perché seno e coseno di  sono entrambi positivi. Poniamo anche :

        .

Otteniamo allora :

essendo la tangente il rapporto fra seno e coseno (qui valori uguali).

Il fatto che la tangente di     sia  1  risulta evidente dalla semplice osservazione del cerchio trigonometrico.

Fine.

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