La ricezione di segnali ondulatori (suono, luce ecc.) sperimentata da ricevitori in moto rispetto al trasmettitore
(sorgente) del segnale presenta una particolare proprietà :
la frequenza (o il periodo) del segnale ondulatorio percepito dal ricevitore è diversa da quella del
segnale emesso dal trasmettitore.
Nella vita quotidiana sperimentiamo questo fenomeno molte volte magari senza farci caso ... per esempio, il
fischio del treno che ci viene incontro è più alto (maggiore frequenza) di quando il treno si allontana, nel qual
caso, il fischio viene percepito più basso (minore frequenza).
In medicina, altro importante esempio, l'esame eco-doppler consiste proprio nella determinazione, tramite
l'effetto Doppler, della velocità del sangue all'interno delle arterie e questo ci permette di "vedere" per
esempio se vi sono problemi di irrorazione del cervello.
L'effetto Doppler è addirittura fondamentale per la comprensione dell'evoluzione dell'universo !!!
Le galassie lontane appaiono più rosse di quello che dovrebbero essere. Questo fatto, detto red-shift
(spostamento verso il rosso) cosmologico, si può spiegare con l'effetto Doppler : le galassie appaiono
più rosse (minore frequenza della luce che esse emettono) perché si stanno allontanando da noi, così
come il fischio del treno viene udito più basso (frequenza minore) quando si allontana.
L'effetto Doppler è quindi un fenomeno di straordinaria importanza per cui conoscerlo e comprenderlo
con sufficiente accuratezza è un ... "imperativo categorico" per chi è interessato alla Scienza.
Procediamo allora alla costruzione di un modello matematico atto a farci capire con profondità l'effetto Doppler.
Consideriamo essenzialmente un generatore (trasmettitore) di onde, un mezzo in cui le onde si propagano
ed un ricevitore.
Tali onde potranno essere acustiche, luminose ecc. La natura fisica delle onde non ci interessa perché l'effetto
Doppler è comune ad ogni tipo di fenomeno ondulatorio. Per comodità di esempio, sarà comunque utile e
comodo riferirci al suono, perché di più semplice riferimento alla vita quotidiana.
Il sistema trasmettitore-mezzo-ricevitore è riferito ad un sistema di riferimento inerziale
rispetto al quale il mezzo sarà considerato in quiete, mentre trasmettitore e ricevitore sono in moto relativo.
Il mezzo è quindi solidale con
.La propagazione delle onde è considerata avvenire rispetto al mezzo con velocità costante, quindi con velocità
costante rispetto a
, indipendentemente dal moto del generatore e del ricevitore.
Si può pensare che l'onda sia una eccitazione del mezzo e che in esso vi si propaghi così come un'onda marina si propaga rispetto
al suo mezzo, il mare. Il ricevitore, nel suo moto rispetto a
, e quindi rispetto al mezzo, incontrerà tale onda e ne potrà misurare le caratteristiche, che saranno di conseguenza caratteristiche apparenti.
Indichiamo con
la velocità dell'onda rispetto al mezzo. Di solito con la
lettera
si indica la velocità della luce nel vuoto. Per noi, qui,
indica la velocità di qualsiasi tipo di onda rispetto al mezzo in cui si
propaga. Questo
non genera ambiguità.
Per esigenze di semplicità ci riferiremo ad un sistema di riferimento inerziale spazio-temporale
a due dimensioni
, dove 
è
la variabile spaziale e 
la variabile temporale. Il trasmettitore ed il ricevitore compiono quindi moti unidimensionali su una retta, l'asse delle x .
Prima di continuare, richiamiamo qui alcuni concetti e definizioni relative alle onde.
Un'onda è una entità che, per quello che ci serve, può essere descritta essenzialmente dalle seguenti grandezze :
- lunghezza d'onda
("lambda")- periodo
- frequenza
("ni")- velocità
.Graficamente, per un'onda sinusoidale :
La lunghezza d'onda è la distanza fra due creste dell'onda e si misura in metri.
Il periodo è la quantità di tempo in cui avviene una oscillazione completa dell'onda, ovvero il tempo in cui
un'onda passa da una cresta alla successiva, e si misura in secondi.
La frequenza indica quante oscillazioni complete un'onda compie nell'unità di tempo (il secondo) e si misura
in hertz.
La velocità dell'onda è la velocità, espressa in metri al secondo, con cui l'onda procede nel mezzo.
Le grandezze qui definite soddisfano le fondamentali relazioni matematiche :
.Per semplificare i calcoli, immaginiamo che il generatore emetta con continuità ad intervalli regolari di
tempo
brevissimi (infinitesimi) impulsi di onde. In questo modo è come
se considerassimo una sola cresta di onda avanzare nel mezzo e possiamo così facilmente descrivere la cinematica di questi impulsi.
Passiamo ora alla definizione del modello di generazione, propagazione e ricezione di onde.
In questo modello assumiamo che il tempo sia assoluto, ovvero che vi sia un orologio solidale con il
generatore ed un orologio solidale con il ricevitore e che entrambi segnino lo stesso tempo, il tempo
assoluto del sistema.
Un tale modello si presta a descrivere la propagazione di onde acustiche in un mezzo materiale o di
onde elettromagnetiche in un'etere classico (ovvero in un ipotetico mezzo di propagazione delle onde
elettromagnetiche, mezzo considerato immobile rispetto ad un sistema di riferimento inerziale assoluto che
qui coincide con
).Immaginiamo allora un trasmettitore dotato di velocità
ed un ricevitore dotato di velocità 
in moto rispetto a
. Tali moti, lo ribadiamo,
sono qui unidimensionali
ed avvengono sull'asse delle x .Disegniamone i grafici orari rispetto a
:
Il ricevitore, al tempo
, si trova nella posizione 
. Le velocità abbiano valore qualunque (nel grafico
è positiva e
è negativa).Immaginiamo ora che il trasmettitore emetta una sequenza di impulsi ad intervalli di tempo regolari
a partire dall'istante
e consideriamo i soli eventi 
di coordinate 
e
di coordinate 
.
Dei due fronti ondosi generati, consideriamo solo quello che avanza nel senso positivo dello spazio.
Graficamente abbiamo :
Il ricevitore incontrerà le onde emesse nei punti
.Determiniamo le coordinate di tali punti e, tenendo presente che :
calcoliamo la differenza delle coordinate temporali (la coordinata temporale di
meno quella di
).Chiamando con
tale differenza, dopo semplici
calcoli, che lasciamo al lettore come esercizio (*), otteniamo :
.Il numero
rappresenta il periodo dell'onda così come viene trasmessa dal trasmettitore
mentre il numero
rappresenta il periodo dell'onda così come viene ricevuta dal ricevitore in
moto rispetto al trasmettitore ed al mezzo, ovvero il periodo apparente dell'onda.
Come si vede bene, tali periodi sono diversi. Questo fenomeno va sotto il nome di effetto Doppler.
Di conseguenza, per le frequenze vale :
.Seguono alcuni esempi in cui, in particolare, abbiamo
oppure 
.02 -Esempi.
- 1 -
, 
In questo caso abbiamo :
ovvero il periodo ricevuto è uguale al periodo emesso come è giusto che sia.
Il grafico orario risulta :
- 2 -
, 
In questo caso abbiamo :
Il grafico orario risulta :
Il grafico che esprime
in funzione di 
è :
In questo caso si verifica che
.
Osservando il grafico (un arco di iperbole) si vede bene che quando la velocità (positiva) del
ricevitore si avvicina alla velocità del segnale c , il periodo captato T tende all'infinito. Questo
dipende dal fatto che, nel grafico orario, la retta che esprime il moto del ricevitore diventa parallela
alle rette che esprimono il moto dei segnali per cui, di conseguenza, gli intervalli T tendono a
diventare infiniti.
- 3 -
, 
In questo caso abbiamo :
Il grafico orario risulta :
Il grafico che esprime
in funzione di
è :
In questo caso si verifica che
.
Osservando il grafico (un arco di iperbole) si vede bene che al crescere negativamente della velocità
del ricevitore, il periodo captato T tende a zero.
- 4 -
,
In questo caso abbiamo :
Il grafico orario risulta :
Il grafico che esprime
in funzione di
è :
In questo caso si verifica che
.
Osservando il grafico (un segmento di retta) si vede bene che quando la velocità (positiva) del
trasmettitore si avvicina alla velocità del segnale c , il periodo captato T tende a zero, ovvero
la frequenza ricevuta tende all'infinito. Questo genera un fenomeno noto come "bang supersonico"
e si verifica quando, per esempio, un aereo supera la velocità del suono.
Lasciamo al lettore lo studio del caso interessante in cui la velocità del trasmettitore supera la
velocità del segnale.
- 5 -
,
In questo caso abbiamo :
Il grafico orario risulta :
Il grafico che esprime
in funzione di
è :
Osservando il grafico (un segmento di retta) si vede bene che al crescere negativamente della velocità
del trasmettitore, il periodo captato dal ricevitore T cresce.
Fine.
(*) Si tratta di calcolare le coordinate di
e
. Per fare questo risolviamo i sistemi fra le equazioni delle rette
così come sono indicate sul grafico. Prima, per determinare
, risolviamo :
e poi, per determinare
, risolviamo:
.
tenendo presente che :
per cui :
.