Gli angoli possono essere misurati in vari modi. La misura più comune, quella in gradi sessagesimali, di origini
storiche antichissime, ha lo svantaggio di essere poco "maneggiabile" nei calcoli.
In matematica, allora, si preferisce la misura in radianti, che fornisce numeri reali in rappresentazione decimale.
La parola radiante è sinonimo di raggio. In sintesi, per misurare un angolo in radianti si va a "vedere" quante volte
il raggio è contenuto nell'arco sotteso all'angolo, ovvero si prende una circonferenza qualunque concentrica
con l'angolo e si fa il rapporto fra l'arco che si ottiene (corrispondente all'angolo che si vuole misurare) ed il raggio
della circonferenza. Cioè :
.
Graficamente :
Si noti il fatto fondamentale che tale rapporto non cambia se si sceglie un'altra circonferenza !!! Se, per esempio,
si raddoppia il raggio, anche l'arco raddoppia di conseguenza per cui il rapporto (la misura in radianti dell'angolo),
non cambia.
Un angolo che misura un radiante è quindi quell'angolo che corrisponde ad un arco lungo quanto un raggio :
Vediamo alcune misure in radianti di angoli particolari :
02 - Cerchio trigonometrico.
Per rappresentare gli angoli conviene utilizzare il cerchio trigonometrico (oppure circonferenza trigonometrica).
Si tratta di un cerchio di raggio unitario centrato in un sistema di assi cartesiani ortogonali sul quale vengono
disegnati gli angoli con la convenzione di fare sempre coincidere un lato dell'angolo con il semiasse positivo
delle ascisse. Gli angoli così rappresentatiti vengono misurati in radianti dando loro un valore positivo se percorsi
in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle ascisse o un valore negativo se percorsi in senso orario.
Esempi di angoli positivi :
Esempi di angoli negativi :
Un angolo, sul cerchio trigonometrico, può superare in senso positivo o negativo un angolo giro. Per esempio :
In questo modo abbiamo raggiunto il risultato molto importante di potere rappresentare sul cerchio trigonometrico
angoli da meno infinito a più infinito, cioè rappresentati da qualsiasi numero reale. Possiamo allora scrivere
per un qualunque angolo x :
.
03 - Seno.
Definiamo il seno di un angolo. Dato l'angolo x sul cerchio trigonometrico, il suo seno è l'ordinata del punto
d'incontro P che il lato libero dell'angolo ha con il cerchio trigonometrico.
Tale valore si indica con il simbolo :
(oppure sen x ).
Graficamente :
E' quindi chiaro che il seno di un angolo è uguale alla lunghezza del segmento verticale PH dotata del segno
positivo se il punto P si trova nel I o II quadrante, dotata del segno negativo se il punto P si trova nel
III o IV quadrante (se P giace sull'asse della ascisse il seno è nullo).
Per esempio, il seno del seguente angolo è negativo :
Al variare dell'angolo x il seno cambia di conseguenza. Possiamo affermare allora che
è una funzione della
variabile indipendente x , cioè possiamo scrivere :
.
Il grafico della funzione seno si chiama sinusoide e risulta :
Si noti la periodicità della funzione seno . Dopo un angolo giro (
) il
seno ricomincia a "fornire" gli stessi
valori. Si dice allora che la funzione
ha periodicità
.
04 - Coseno.
Definiamo il coseno di un angolo. Dato l'angolo x sul cerchio trigonometrico, il suo coseno è l'ascissa del punto
d'incontro P che il lato libero dell'angolo ha con il cerchio trigonometrico.
Tale valore si indica con il simbolo :
.
Graficamente :
E' quindi chiaro che il coseno di un angolo è uguale alla lunghezza del segmento orizzontale OH dotata del segno
positivo se il punto P si trova nel I o IV quadrante, dotata del segno negativo se il punto P si trova nel
II o III quadrante (se P giace sull'asse della ordinate il coseno è nullo).
Per esempio, il coseno del seguente angolo è negativo :
Al variare dell'angolo x il coseno cambia di conseguenza. Possiamo affermare allora che
è una funzione della
variabile indipendente x , cioè possiamo scrivere :
.
Il grafico della funzione coseno si chiama cosinusoide e risulta :
Si noti la periodicità della funzione coseno . Dopo un angolo giro (
) il
coseno ricomincia a "fornire" gli stessi
valori. Si dice allora che la funzione
ha periodicità
.
05 - Tangente.
La tangente (trigonometrica) di una angolo è definita come il rapporto fra seno e coseno. Abbiamo perciò :
dove il simbolo
indica appunto la tangente di un angolo che, per non generare ambiguità
(la stessa parola
"tangente" indica anche la retta tangente ad una curva), viene detta tangente trigonometrica.
La costruzione della tangente di un angolo sul cerchio trigonometrico avviene tramite la retta tangente (da
cui il nome) così come indicato nel grafico :
La definizione di tangente come rapporto di seno e coseno risulta chiara dal seguente grafico :
Siccome i triangoli OHP e OKQ sono simili (hanno la stessa "forma"), posiamo affermare che :
che giustifica appunto la definizione di tangente trigonometrica.
Gli angoli del I e III quadrante hanno tangente positiva. Gli angoli del II e IV quadrante hanno tangente
negativa (se P giace sull'asse della ascisse la tangente è nulla).
Alcuni esempi :
La tangente trigonometrica gode di una importantissima proprietà. Essa non esiste quando l'angolo è pari a
o a 
(in generale per tutti gli altri angoli il cui lato libero è coincidente con
l'asse delle ordinate).
Graficamente :
Questo dipende dal fatto che per tali angoli il lato libero, coincidente con l'asse delle ordinate, è parallelo alla retta
tangente al cerchio trigonometrico per cui non si hanno punti d'incontro. E' importante notare il comportamento
della tangente trigonometrica quando l'angolo si avvicina (tende) a
e a
. Ciò può avvenire per valori
minori o per valori maggiori dei suddetti angoli.
In questi casi i valori della tangente divergono, ovvero crescono positivamente o negativamente tendendo
all'infinito positivo o negativo a seconda dei casi.
Infatti, quando l'angolo si avvicina a
per valori minori, si verifica che la tangente tende a 
:
mentre quando l'angolo si avvicina a
per valori maggiori, si verifica che la tangente tende a 
:
Situazioni analoghe si hanno quando l'angolo tende a
per valori minori o maggiori.
Al variare dell'angolo x la tangente cambia di conseguenza. Possiamo affermare allora che
è una funzione della
variabile indipendente x , cioè possiamo scrivere :
.
Il grafico della funzione tangente si chiama tangentoide e risulta :
Si noti la periodicità della funzione tangente . Dopo un angolo piatto (
) la
tangente ricomincia a "fornire" gli stessi
valori. Si dice allora che la funzione
ha periodicità
.
Si noti anche l'andamento asintotico della tangentoide nella prossimità dei valori dove non esiste (
, ecc.),
comportamento che fa sì che la curva diverga positivamente e negativamente come mostrato dal grafico.
Fine.