Sia data la parabola di equazione
e l'iperbole equilatera di equazione 
.
Si determini la retta tangente
ad entrambe le curve (evidentemente, tale retta è unica).
Graficamente :
Per risolvere questo esercizio, troviamo l'equazione della retta
tangente
alla parabola in un suo punto qualunque
, e
l'equazione della retta 
tangente all'iperbole in un suo punto qualunque 
.
Graficamente :
Trovate le rette tangenti
(alla parabola) e
(all'iperbole), imponiamo che esse siano coincidenti, cioè che
siano
una stessa retta, quindi contemporaneamente tangenti alle due curve.
Sia
l'ascissa di
e sia 
l'ascissa
di .
Ovviamente
e sono due
numeri qualsiasi.
Graficamente :
Le coordinate di
e , essendo
punti rispettivamente della parabola e dell'iperbole, dovranno soddisfarne
le
equazioni. Avremo allora :
e :
.
L'equazioni della generica retta
passante per
è :
mentre l'equazioni della generica retta
passante per
è :
dove
e 
sono
generici coefficienti angolari.
Graficamente :
Ma una retta tangente ad una curva in un suo punto ha il coefficiente angolare uguale alla pendenza (la derivata)
della curva in quel punto.
La pendenza della parabola
in un suo punto di ascissa x è, come ben sappiamo :
e la pendenza dell'iperbole
in un suo punto di ascissa x è :
.
Le equazioni delle rette tangenti
e si
ottengono infine eguagliando i loro coefficienti angolari alle pendenze
scritte sopra e calcolate nei punti di tangenza.
Abbiamo perciò per
:
cioè :
e :
ovvero infine :
.
Abbiamo per
:
cioè :
e :
e :
ovvero infine :
.
Abbiamo ottenuto le equazioni delle rette tangenti nella forma
(forma esplicita).
A questo punto imponiamo alle due rette tangenti di essere coincidenti (uguali). Per fare questo basta imporre
che i due coefficienti angolari siano uguali ed allo stesso tempo che le due ordinate all'origine siano uguali.
Così da due rette diverse otteniamo una stessa retta.
Poniamo perciò alle equazioni di
e , che
riscriviamo per comodità :
,
le condizioni :
in quanto :
il coefficiente angolare di
è 
, il
coefficiente angolare di
è 
,
l'ordinata all'origine di
è 
,
l'ordinata all'origine di
è 
.
Abbiamo quindi ricavato un sistema di due equazioni e due incognite risolvendo il quale determiniamo le incognite
che poi, sostituite
nelle equazioni di
e , determinano
definitivamente l'equazione della tangente
cercata.
Risolviamo il sistema.
Ricaviamo per questo dalla prima equazione l'incognita
. Essa risulta :
.
Sostituendo questo valore nella seconda equazione otteniamo :
ovvero :
.
Questa è una equazione nell'incognita
che risolviamo moltiplicando ambo i membri per 
. Otteniamo perciò :
ovvero, semplificando :
cioè :
.
Questa equazione di terzo grado fornisce la sola soluzione :
.
Sostituendo in
otteniamo anche l'incognita .
Essa vale :
ovvero :
.
Lasciamo al lettore la determinazione finale dell'equazione della retta tangente
.
Lasciamo al lettore anche l'interessante discussione di una possibile tangente "impropria" nell'origine
.
Fine.