Consideriamo l'iperbole equilatera di equazione
ed il punto 
. Si determinino le rette tangenti
condotte per P all'iperbole.
Graficamente :
Come risulta evidente, tali rette tangenti sono due e le indicheremo con
, 
. Indicheremo
inoltre con 
, 
i
punti di tangenza.
Per ricavare le due tangenti all'iperbole passanti per P possiamo immaginare di "esplorare" l'iperbole con una retta
tangente facendola "muovere" punto per punto lungo l'iperbole. Facendo così, succederà, per qualche tangente
particolare (in questo caso due), che passino anche per il punto P .
Graficamente :
Consideriamo una di queste tangenti, che chiameremo t , ed indichiamo con Q il punto di tangenza supponendo
che la sua ascissa sia
("tau"). Ovviamente, essendo Q un punto dell'iperbole, la
sua ordinata sarà 
.
Scriviamo allora :
.
Graficamente :
Determiniamo ora l'equazione della retta t .
La generica retta passante per Q è :
avendo utilizzato la ben nota formula delle rette passanti per un punto dato. Ovviamente tali rette sono infinite e si
distinguono per il coefficiente angolare m (la loro pendenza) che può avere valori qualunque.
Graficamente :
Naturalmente, delle infinite rette passanti per Q , una sola sarà la retta tangente all'iperbole in quel punto (cioè la retta
t ).
Che coefficiente angolare m avrà la retta tangente t ? Sarà il valore della pendenza dell'iperbole in Q .
La pendenza dell'iperbole equilatera generica
è, per un suo qualsiasi punto di
ascissa x , 
.
Nel nostro caso abbiamo k = 1 e
. Avremo allora :
.
Sostituendo nell'equazione della retta per Q scritta sopra, ricaviamo :
.
Questa è l'equazione della retta tangente t all'iperbole nel suo punto Q .
Tale retta passa per Q ma non passa in generale per P . Perché passi anche per P occorre che le coordinate di
ne soddisfino
l'equazione, cioè, sostituendo, si deve avere :
.
Questa è un'equazione in
che, risolta, fornisce le ascisse dei punti di tangenza
, .
Moltiplicando ambo i membri per
otteniamo :
e, eliminando le parentesi al secondo membro :
.
Portando i termini del secondo membro nel primo e semplificando abbiamo :
che costituisce una semplice equazione di secondo grado in
.
Applicando al formula risolutiva ricaviamo infine :
.
I due valori trovati rappresentano le ascisse dei punti di tangenza
, .
Lasciamo al lettore il compito di ricavare esplicitamente le equazioni delle rette tangenti
,
Fine.