La pendenza dell'iperbole equilatera
in un suo punto P , così come per ogni altra curva, è data
dalla
pendenza della retta tangente ad essa in P . Indichiamo con t tale retta tangente.
Per esempio, nel caso di k > 0 (tutto ciò che segue vale anche, "mutatis mutandis", per k < 0 ) :
La retta tangente nel punto P all'iperbole equilatera (così come per ogni altro tipo di curva, lo ribadiamo) è ottenibile
come passaggio al limite di una retta secante, sempre passante per P , così come illustrato nel grafico :
Nel grafico, la secante s passante per P e Q viene fatta spostare via via in modo che il punto Q tenda a
sovrapporsi al punto P . In questo modo la retta secante s diventa la retta tangente t all'iperbole in P .
Calcoliamo ora la pendenza della retta secante s considerando che l'ascissa di P sia
e quella di Q sia
.
Nel grafico :
Il numero h è detto incremento della x .
E' immediato affermare che l'ordinata di P è
e quella di Q è 
. Graficamente abbiamo :
Notando che HQ = h , possiamo sicuramente affermare che la pendenza della retta s è :
,
essendo il numeratore
pari alla la lunghezza del segmento HP dotata, in questo caso, del
segno meno,
dato che la pendenza di s è qui negativa (infatti, se k > 0 e h > 0 ,
) .
L'espressione della pendenza di s scritta sopra può essere semplificata nel seguente modo :
.
Per ricavare la pendenza della retta tangente t all'iperbole in P , ovvero la pendenza dell'iperbole in P , basta
eseguire il limite per
dell'espressione che rappresenta
la pendenza della secante calcolata sopra. Il
perché di
questo risulta chiaro osservando il grafico :
E' chiaro che, quando la retta secante tende a diventare tangente, il valore dell'incremento h tende a 0 .
Scriveremo allora che la pendenza della retta tangente t all'iperbole nel suo punto P , ovvero la pendenza della
curva stessa in P , vale :
.
Tale limite è di immediata intuitiva soluzione (basta sostituire ad h il valore 0 ). Esso fornisce :
.
Un altro modo universalmente conosciuto di denominare ed indicare più proficuamente la pendenza dell'iperbole
(ed in generale di ogni altra curva) è tramite il concetto di derivata. Possiamo scrivere :
dove f indica la funzione in oggetto (l'iperbole equilatera) e l'apice indica la derivata (ovvero la pendenza).
Se consideriamo l'ascissa di P pari a x , la pendenza dell'iperbole sarà in P :
.
E' chiaro che al variare di x la pendenza dell'iperbole equilatera cambia. Per esempio, sempre nel caso di k > 0 :
Possiamo facilmente renderci conto che :
se k > 0 la pendenza è sempre negativa e si ha :
per x tendente a
la pendenza tende a 0
per x tendente a 0 per valori positivi la pendenza tende a
per x tendente a 0 per valori negativi la pendenza tende a
per x tendente a
la pendenza tende a 0
Riassumendo graficamente (dove il valore della pendenza y' punto per punto è dato dalla funzione in rosso) :
se k < 0 la pendenza è sempre positiva e si ha :
per x tendente a
la pendenza tende a 0
per x tendente a 0 per valori positivi la pendenza tende a
per x tendente a 0 per valori negativi la pendenza tende a
per x tendente a
la pendenza tende a 0
Riassumendo graficamente (dove il valore della pendenza y' punto per punto è dato dalla funzione in rosso) :
Fine.