Consideriamo il fascio di rette di equazione
dove m è un parametro reale positivo. Consideriamo
anche l'iperbole equilatera di equazione
. Si determini il luogo geometrico del punto medio del
segmento
determinato dall'intersezione delle rette del fascio con l'iperbole.
Il fatto che l'equazione
rappresenti un fascio (insieme, famiglia) di rette è evidente se
confrontiamo
tale equazione con l'equazione di una retta generica
. Avremo allora che il coefficiente angolare delle
singole rette del fascio vale m e l'ordinata all'origine vale
.
Per ogni dato valore di m (positivo) si verrà ad individuare una ben precisa retta del fascio. Nel seguente grafico
abbiamo mostrato le rette per m = 1 , m = 2 , ... , m = 10 . Abbiamo indicato anche la retta per m = 0 , ovvero la
retta di equazione y = 0 (cioè l'asse delle x ), pur avendo posto m > 0 :
Si noti che al crescere di m il coefficiente angolare m (stesso) delle rette del fascio cresce (cioè le rette aumentano
di pendenza) mentre l'ordinata all'origine
cresce negativamente, ma più velocemente (come un quadrato, -1 ,
-4 , -9 , ... ). Si noti anche che il punto di intersezione fra le rette del fascio e l'asse delle x ha coordinate (m , 0) .
Per vedere questo basta risolvere il sistema :
che fornisce l'equazione :
ovvero :
cioè, dividendo ambo i membri per m , appunto :
x = m .
Si noti allora la "dinamica" (sarebbe meglio dire ... cinematica ...) del fascio per m che assume valori da 0 in su
(da 0 a
) :
si tratta di rette che, a partire dalla retta orizzontale y = 0 , si "alzano" sempre più e si "allontanano" sempre più
verso destra.
Al tendere di m all'infinito, la retta del fascio si allontanerà all'infinito (positivo, a destra) e tenderà a diventare verticale.
Infatti, quando il coefficiente angolare di una retta tende all'infinito, la retta tende a diventare verticale, cioè una retta di
equazione x = k . Potremmo allora affermare che nel nostro caso, per
, la retta del fascio tende all'equazione
(ovviamente,
non è un numero, per cui questa affermazione è squisitamente
"intuitiva").
(il simbolismo grafico è chiaro)
Mostriamo, a mo' di esempio, anche il grafico del fascio in cui sono stati scelti valori di m più "fini" (per esempio
da 0 a 10 con passo 0,2 ) si ottiene :
Consideriamo ora come le rette del fascio intersecano l'iperbole. Ovviamente per ogni retta del fascio si avranno due
punti di intersezione che formeranno un segmento. Chiameremo tali punti A e B con l'avvertenza di considerare A
il punto con ascissa minore (quindi a sinistra di B ).
Si determinerà perciò per ogni valore di m un segmento AB in "movimento". Il suo punto medio M , movendosi
di conseguenza, traccerà a sua volta una linea, il luogo geometrico del punto medio.
Tutto ciò è rappresentato dal grafico :
(i punti A , A' , A'' ... ed i punti B , B' , B'' ... si hanno per m = 1 , 2 , 3 , ... )
Per determinare l'equazione del luogo geometrico del punto medio basta trovare le coordinate di A e B , calcolare
le coordinate del punto medio ed infine eliminare il parametro m in modo che si ottenga l'equazione del luogo
nella forma y = f(x) .
Per trovare A e B basta risolvere il sistema fra il fascio di rette e l'iperbole, cioè il sistema :
.
Uguagliando le y ricaviamo :
da cui, moltiplicando ambo i membri per x :
ovvero, sottraendo 1 ad ambo i membri :
.
Questa è una equazione di secondo grado in x i cui coefficienti sono termini che contengono il parametro m .
Ricordando ancora una volta che le soluzioni dell'equazione generica di secondo grado :
sono :
,
ricaviamo nel nostro caso (essendo
) :
che per brevità scriveremo :
avendo posto :
.
Le coordinate di A e B saranno allora :
; 
.
L'ascissa di A presenta il segno - perché A è a sinistra di B . Le ordinate sono state determinate immediatamente
sostituendo le ascisse nella x nell'equazione
(basta perciò "capovolgere" le ascisse).
Le coordinate del punto medio M del segmento AB si determinano facendo le semisomme, cioè :
(il simbolismo è evidente).
Sostituendo i valori precedentemente calcolati di A e B ricaviamo :
.
Con semplici passaggi otteniamo :
ed infine, ricordando che
:
e quindi :
ovvero :
.
Queste sono le coordinate semplificate ai minimi termini del punto medio M del segmento AB in funzione del
parametro m .
A questo punto siamo in grado di trovare l'equazione del luogo geometrico tracciato dal punto medio M nel suo
movimento al variare del parametro m . Per fare questo basta eliminare il parametro dal sistema che otteniamo
esplicitando la x e la y di M .
Tale sistema è :
e possiamo, per esempio, ricavare m dalla prima equazione e sostituirla nella seconda. Troviamo cioè dalla prima :
m = 2x
per cui, sostituendolo nella seconda, avremo allora :
cioè in definitiva :
.
Questa, che è una parabola rivolta verso il basso, è l'equazione del luogo geometrico cercato.
Si noti che questo procedimento di eliminazione del parametro è il procedimento tipico in questi tipi di problema.
Si noti (come è giusto che sia) anche la corrispondenza fra il risultato algebrico con il grafico disegnato sopra.
Fine.