Sia data la funzione :
con 
.
Si tratta di un fascio (si dice anche famiglia) di parabole ovvero di un insieme di parabole determinate dai vari
valori che il parametro (ovvero un numero non "specificato") reale t può assumere da
a 
con
esclusione
del valore 0 perché per tale valore si avrebbe la divisione per 0 , cosa non permessa.
Il fatto che siamo in presenza di parabole lo si deduce semplicemente confrontando la suddetta equazione con
la ben nota equazione della parabola generica :
.
Facendo questo confronto ricaviamo immediatamente che :
da cui si vede che i coefficienti del nostro fascio di parabole dipendono ovviamente dal parametro t .
Si noti anche che tutte le parabole di questo fascio passano per l'origine perché l'ordinata all'origine (il termine c )
di tutte le suddette parabole è identicamente nullo indipendentemente dalla scelta del parametro t (infatti c = 0 ).
Siamo quindi in presenza di infinte parabole ciascuna determinata da un certo valore del parametro t . Nel
grafico seguente abbiano tracciato due di queste parabole per i valori t = 1 e t = 2 :
Quello che si chiede in questo esercizio è determinare il luogo geometrico (o semplicemente il luogo) del vertice
delle parabole del fascio, cioè, in altre parole, di individuare la linea, la curva, che il vertice "percorre" al variare
del parametro t .
Il vertice, come vedremo fra un attimo, dipende dal parametro t perché i coefficienti dell'equazione del fascio di
parabole dipendono da t . Per questo motivo, al variare di t il vertice varia, si "muove", descrivendo una linea,
il luogo geometrico del vertice appunto. Dobbiamo determinare allora questo "movimento", questa curva
determinata dal vertice.
Questi tipi di problemi, con fasci di curve e luoghi geometrici, sono molto "belli", oltre che utili, e con essi la matematica,
in un certo senso, si ... anima.
Le coordinate del vertice di una generica parabola sono :
dove con f(...) , ricordiamolo, intendiamo "sostituire l'ascissa del vertice nella x della funzione, fare i calcoli, e
trovare la y " (essendo V un punto della parabola per cui le sue coordinate ne devono soddisfare l'equazione).
Nel nostro caso abbiamo allora :
ovvero :
.
Le coordinate del vertice delle parabole del fascio dipendono quindi dal parametro t nel modo appena individuato.
Abbiamo per esempio :
t = 1 ==> V(1 , 1)
t = 2 ==> V(2 , 1/2)
t = -1 ==> V(-1 , -1) ecc. ecc.
Osservando la forma matematica del vertice si intuisce subito che il prodotto delle coordinate è costantemente 1 .
Questo significa che il luogo geometrico del vertice, la curva cercata, è l'iperbole equilatera :
.
Più analiticamente, possiamo scrivere le coordinate del vertice V nel seguente modo :
.
Sostituendo nella seconda equazione il termine t = x , otteniamo appunto
. In
questo modo abbiamo
ricavato, con un procedimento generale che utilizzeremo di regola nel proseguo di questo corso, l'equazione
cercata.
Riportiamo infine un grafico, ottenuto al computer dando al parametro t valori da - 3 a 3 intervallati da un
termine pari a 0,4 , in cui il fascio di parabole "prende forma" e se ne può gustare la "dinamicità" e l' "armonia" :
(il luogo geometrico del vertice è tracciato in blu)
Fine.