Consideriamo un'iperbole equilatera definita rispetto al sistema di assi cartesiani ortogonali 0'x'y' (che chiameremo
per brevità sistema S' ). La sua equazione è ovviamente :
dove k è un numero reale qualunque, per esempio positivo. Il suo grafico è :
Introduciamo un altro sistema di assi cartesiani ortogonali paralleli ed equiversi (con il verso degli assi concorde
con il precedente sistema S' ) al precedente che chiameremo 0xy o, più brevemente, sistema S . Graficamente :
E' chiaro che l'equazione dell'iperbole rispetto al sistema S è diversa da quella rispetto al sistema S' scritta
sopra.
Supponiamo che le coordinate del punto 0' rispetto al sistema S siano (a,b) , dove a e b sono numeri reali
qualunque. Graficamente :
Ci chiediamo quale sia l'equazione dell'iperbole rispetto al sistema S .
Per fare questo occorre conoscere le relazioni matematiche che intercorrono fra le coordinate x, y del sistema
S e le corrispondenti coordinate x', y' del sistema S' . In una più "significativa" espressione, diciamo che ci serve
conoscere l'equazione della trasformazione delle coordinate da un sistema di riferimento all'altro.
Tale trasformazione è qui una traslazione (parallela) di assi, in quanto gli assi risultano appunto traslati parallelamente
ma non ruotati. Trasformazioni più generali, quali le rototraslazioni, ovvero combinazioni di traslazioni e rotazioni,
saranno prese in considerazioni più avanti in questo corso. Le rototraslazioni, di cui portiamo qui un esempio :
hanno equazioni più complesse che coinvolgono la trigonometria.
Ma torniamo alla nostra traslazione. Osservando il grafico riassuntivo in cui abbiamo posto un punto P qualunque :
risulta chiaro che l'equazione della traslazione è (si può dire anche al plurale, "le equazioni della traslazione sono") :
ovvero :
.
Queste semplici relazioni di primo grado esprimono come sono legate matematicamente le coordinate nei due
sistemi.
Si noti che uno stesso punto P ha coordinate diverse a seconda del sistema di riferimento a cui esso è riferito,
cioè, nel nostro caso, come indicato nel grafico, rispetto ad S si ha :
P(x,y)
mentre rispetto ad S' si ha :
P(x',y') .
A questo punto, se sostituiamo nell'equazione di partenza dell'iperbole
le espressioni che danno le x', y'
in funzione delle x, y (il secondo sistema scritto sopra), otteniamo :
che rappresenta l'equazione cercata dell'iperbole in funzione delle coordinate del sistema S , ovvero di x e y .
Semplificando, abbiamo :
e (facendo, tramite il minimo comune multiplo dei denominatori, un'unica frazione) :
ed infine (calcolando la moltiplicazione ed ordinando) :
.
Questa è l'equazione cercata definitivamente semplificata.
Si noti che tale equazione (rispetto ad x e y ) è significativamente diversa dall'equazione di partenza in x' e y'
ad esprimere che la stessa iperbole, cambiando sistema di riferimento, cambia equazione. Questo è un risultato
generale che vale per ogni curva :
cambiando il sistema di riferimento, l'equazione di una curva cambia.
Un'iperbole equilatera, vista da un sistema di riferimento traslato, si chiama iperbole omografica.
L'equazione dell'iperbole omografica differisce sostanzialmente dall'equazione dell'iperbole equilatera per presentare
la x anche al numeratore. In ogni modo, la x è presente solo al primo grado.
02 - Esercizio.
Trovare i punti d'incontro fra l'iperbole equilatera di equazione :
e la parabola di equazione :
.
Il vertice della parabola è
(lasciamo al lettore la facile verifica di questo risultato) e la sua
ordinata
all'origine è
. I vertici dell'iperbole sono 
e 
. I grafici
delle due curve risultano allora :
(si vede già dal disegno che due dei tre punti di intersezione cercati probabilmente coincidono con i vertici
dell'iperbole !!)
Per determinare algebricamente i punti d'incontro fra le due curve basta risolvere il sistema fra le loro
equazioni. Questo fatto vale in generale per qualunque tipo di curva e non ci stancheremo mai di ripeterlo !!!
Il sistema è allora :
che conduce, eguagliando le y , all'equazione :
.
Tale equazione può essere semplificata moltiplicando ambo i membri per x :
,
sommando ad ambo i membri -1 :
e moltiplicando ambo i membri per - 3 :
.
Questa è un'equazione algebrica (cioè formata da un polinomio uguagliato a 0) di terzo grado che fornisce in
generale tre soluzioni che però possono non essere tutte reali. Se, per esempio, la parabola avesse il vertice
sotto l'asse delle x (ordinata del vertice negativa) vi sarebbe un solo punto d'incontro con l'iperbole cioè, che
è la stessa cosa, l'equazione avrebbe una sola soluzione reale e due non reali (complesse) ma sempre in numero
complessivo di tre così come è il grado dell'equazione.
Per risolvere un'equazione algebrica di terzo grado vi è una formula generale contenente radicali (così come per
quelle di secondo grado). Tale formula è però molto complicata per cui non la enunceremo né useremo.
Per la "curiosità" del lettore, occorre sapere che esistono formule risolutive generali per radicali fino al quarto grado
compreso. Per le equazioni dal quinto grado compreso in su non esistono (non possono esistere !!) formule generali
per radicali che abbiano un numero finito di termini.
Risolveremo allora l'equazione
con qualche "artifizio".
La riscriviamo nel seguente modo :
ed ancora, raccogliendo, come si dice, a fattor comune il termine (x - 3) :
.
Orbene, un prodotto è nullo quando è nullo almeno uno dei suoi fattori. Per questo otteniamo le equazioni :
e/o :
.
La prima fornisce :
x = 3
e la seconda :
.
Questi tre valori della x , -1 , 1 , 3 , costituiscono le tre ascisse dei punti d'incontro fra l'iperbole e la
parabola. Il calcolo delle relative ordinate è immediato e fornisce nell'ordine -1, 1, 1/3 .
Si noti che questo risultato algebrico corrisponde esattamente a ciò che avevamo "previsto", "intuito",
geometricamente semplicemente osservando il grafico. L' "anima" della geometria analitica sta proprio
nella doppia possibilità, algebrica e geometrica, di analizzare un problema e tale doppia possibilità
fornisce sempre la possibilità di una verifica "incrociata" dei risultati.
Fine.