Facciamo qui alcune precisazioni su come cambia il grafico di una iperbole equilatera di equazione :
al variare del segno del parametro k ed anche quando esso è nullo.
Se k è positivo, i due rami dell'iperbole, come ben sappiamo, sono situati nel I e III quadrante :
Se k è negativo, invece, come è immediato verificare dando valori a caso alla x (per esempio 1 e -1 ), i
due rami cadono nel II e IV quadrante :
(se k è negativo esso è posizionato nella parte negativa dell'asse delle y e -k in quella positiva)
E' interessante notare quanto valgono in questo caso le coordinate dei vertici dell'iperbole. Per ricavarle si
dovrà fare l'intersezione fra l'iperbole e la bisettrice del II e IV quadrante, cioè la retta di equazione y = -x .
Si dovrà risolvere quindi il sistema :
dove, ribadiamolo, k è negativo.
A conti fatti (lasciamo al lettore il loro sviluppo), si ottiene :
e 
come è giusto che sia in analogia con il caso di k > 0 (si noti che se k è negativo , -k è positivo, per cui i radicali
hanno senso).
Graficamente :
Le considerazioni sulle importanti simmetrie fatte per le iperboli con k positivo, valgono anche per le iperboli
con k negativo.
Se k è nullo, l'iperbole
degenera nella (diventa la) retta :
che rappresenta l'asse delle x (si noti l'uso del "significativo" verbo "degenerare").
In verità questo caso è un po' più complicato e lo si può discutere in due modi, uno algebrico ed uno geometrico.
Algebricamente, consideriamo l'equazione dell'iperbole scritta nella forma :
.
che si ottiene dalla
moltiplicando ambo i membri per k .
Se vale k = 0 , l'equazione dell'iperbole diventa :
che fornisce :
ed anche 
(un prodotto è nullo quando uno dei suoi fattori è nullo).
Abbiamo ottenuto così le equazioni degli assi coordinati per cui, se k = 0 , l'iperbole degenera nei due
assi coordinati :
L'altro modo, quello geometrico, è molto più interessante ed "espressivo". Immaginiamo che k tenda a 0 (per
esempio per valori positivi). Le iperboli, allora, tenderanno ad avvicinarsi sempre più agli assi coordinati fino
a coincidere con essi quando k diventa nullo. Ciò è evidente ed è espresso dal fatto che i due vertici,
e 
, al
tendere di k a 0 , tendono a diventare (0 ,
0) e quindi a coincidere
con l'origine degli assi cartesiani appunto di coordinate (0 , 0) :
02 - Verifica simmetria iperbole equilatera rispetto all'origine.
Abbiamo in precedenza affermato che una iperbole è simmetrica rispetto all'origine 0 del sistema di assi
cartesiani in cui è definita. Questo significa che ogni retta passante per l'origine (eccetto gli assi cartesiani
stessi che costituiscono gli asintoti dell'iperbole) intercetta sull'iperbole stessa segmenti uguali. Graficamente :
L'affermazione è geometricamente "plausibile" ma, come ogni affermazione matematica, deve essere esattamente
dimostrata.
Per fare questo consideriamo l'iperbole
con k positivo (per k negativi valgono analoghi
ragionamenti)
e prendiamo il fascio (l'insieme) delle rette passanti per l'origine 0 . Tali rette hanno equazione
, dove il
coefficiente angolare m assume valori reali positivi (tali rette hanno pendenza positiva), ed incontrano l'iperbole
data, per un certo valore di m , nei due punti A e B :
Orbene, se la simmetria con l'origine 0 è vera, deve essere :
0A = 0B
per qualunque valore di m .
Per calcolare le coordinate di A e B basta fare il sistema fra l'equazione dell'iperbole e l'equazione della generica
retta passante per 0 :
che, uguagliando le y , fornisce l'equazione :
.
Per risolverla, basta moltiplicare ambo i membri per x :
,
dividere ambo i membri per m :
ed estrarre la radice quadrata :
(assegnandole valore positivo e negativo e notando che
è sicuramente positivo).
Il valore
sarà l'ascissa di B mentre il valore 
sarà l'ascissa di A .
Per trovare le ordinate y , basterà per esempio sostituire i due valori della x trovati in una delle equazioni del
sistema, per esempio nell'equazione
. Otteniamo perciò (in forma sintetica) :
.
Il valore
può essere scritto meglio portando m dentro radice, ottenendo
cioè 
, per
cui abbiamo, in modo semplificato :
.
Il valore
sarà l'ordinata di B mentre il valore 
sarà l'ordinata di A . Riassumendo, le coordinate
di A e B sono :
e 
.
A questo punto, la dimostrazione che 0A = 0B è immediata. Senza effettuare nessun calcolo basta osservare
che le coordinate di A e B sono opposte di segno ma uguali in valore assoluto.
03 Verifica simmetria iperbole equilatera rispetto all'asse (dei vertici).
Un'altra importante simmetria dell'iperbole è quella rispetto al suo asse, ovvero alla retta che congiunge i suoi
vertici. Graficamente :
La suddetta simmetria consiste nel fatto che per qualunque retta perpendicolare all'asse (che incontri l'iperbole)
si determinano segmenti uguali (come indicato in figura), cioè si deve avere :
AH = HB .
Per dimostrare la verità di questa simmetria, consideriamo l'iperbole
con k positivo (per k negativi
valgono analoghi ragionamenti), il suo asse (la retta che congiunge i vertici) che coincide con la retta bisettrice
del I e III quadrante di equazione y = x ed una qualunque retta perpendicolare al suddetto asse. Tale retta
perpendicolare ha equazione :
dovendo i due coefficienti angolari (dell'asse e della sua perpendicolare) essere antireciproci (cioè avere prodotto
-1 ) ed essendo p , l'ordinata all'origine, un numero qualsiasi. Graficamente :
Per determinare le coordinate di A e B basta risolvere il sistema :
che fornisce, uguagliando le y , l'equazione :
.
Moltiplicando ambo i membri per x otteniamo :
da cui, sottraendo ad ambo i membri k :
e, cambiando segno moltiplicando ambo i membri per - 1 :
.
Si tratta di una semplice equazione di secondo grado in x che fornisce le soluzioni :
(abbiamo usato la nota formula risolutrice
dove a, b , c sono i coefficienti della generica
equazione di secondo grado
).
Questi due valori di x sono le ascisse dei punti cercati A e B . Per trovare le ordinate basta sostituirli in una
delle due equazioni del sistema, per esempio in
.
Sostituendo entrambe le x , otteniamo :
da cui, facendo il minimo comune multiplo e stando molto "attenti" al segno - davanti alla linea di frazione :
e quindi :
.
Si noti l'utilizzo del simbolo
"meno-più". Quando la x assume il segno + , la
corrispondente y assume il segno
- e viceversa.
I punti A e B avranno allora le coordinate :
e :
(si noti la simmetria delle formule !!).
Per determinare le coordinate del punto H basta risolvere il sistema :
.
Si ottiene con calcoli elementari (che lasciamo come esercizio al lettore) :
che è un risultato facilmente verificabile geometricamente dati i quadrati e le loro metà che si individuano nel grafico.
A questo punto si possono calcolare le lunghezze dei segmento AH e HB e verificare che sono uguali. Lasciamo
al lettore lo sviluppo dei calcoli accontentandoci qui della seguente "prova" geometrica :
in quanto i punti A e B , come è immediato osservare, si "scambiano" le coordinate.
Fine.