Consideriamo la funzione :
dove k è un numero reale diverso da 0 dato a priori ed x può assumere valori reali diversi da 0 (cioè deve
essere
perché non si può dividere per 0 !!!).
Una tale funzione è atta a rappresentare grandezze inversamente proporzionali che si caratterizzano dall'avere
prodotto costante. Infatti, moltiplicando ambo i membri della funzione per x si ottiene la formula :
che rappresenta appunto un prodotto costante ( k ) fra le grandezze variabili x e y .
Grandezze per cui il rapporto è costante, ovvero grandezze per cui :
sono dette invece grandezze direttamente proporzionali e sono rappresentate nel piano cartesiano, come è ovvio
che sia, da rette passanti per l'origine (lasciamo al lettore volenteroso la dimostrazione di questo fatto).
La curva che rappresenta il grafico della funzione
si chiama iperbole equilatera.
Disegniamola ora per il semplice caso k = 1 , cioè disegniamo la funzione :
ottenendola per punti dando alla variabile indipendente x opportuni valori :
Osservando il grafico notiamo che l'iperbole equilatera possiede molte simmetrie. Innanzitutto essa è costituita
da due rami che sono simmetrici rispetto all'origine, ovvero ogni retta che passa per l'origine intercetta sui due
rami segmenti uguali :
Si ha cioè :
OA = OB
e la dimostrazione analitica di ciò è ottenibile facilmente ricavando le coordinate dei punti A e B tramite il sistema
fra l'iperbole (si può per brevità omettere l'aggettivo equilatera) e la generica retta passante per l'origine. Naturalmente
questa simmetria vale anche per qualunque altro valore di k .
Un altro fatto molto interessante è che i rettangoli che si ottengono per qualunque valore di x hanno tutti la stessa
area xy = 1 :
In una generica iperbole
queste aree saranno ovviamente pari a k .
Disegniamo ora l'iperbole per k = 2 , ovvero la funzione
:
(confrontata con l'iperbole
). Si vede bene dal grafico che aumentando il valore di k si
ottengono iperboli
che si "allontanano" sempre più dall'origine.
Ecco qui i grafici di iperboli con diversi valori di k ( da 1 a 10 ) :
Tutte le iperboli equilatere hanno la fondamentale proprietà di avvicinarsi sempre di più ai due assi coordinati.
Consideriamo la generica iperbole con k positivo (ogni considerazione che faremo varrà anche con k negativo
con le dovute inversioni dei rami dell'iperbole):
il cui grafico è :
Quando la x va a
, l'iperbole si avvicina sempre più all'asse delle x decrescendo,
mentre quando la x
si avvicina a 0 da destra (per valori maggiori di 0 ) l'iperbole si avvicina sempre più all'asse delle y crescendo.
Analogamente quando la x va a
ed a 0 da sinistra (per valori minori di 0 ). Possiamo
riassumere tutto
ciò utilizzando il concetto di limite :
(i simboli 0+ e 0- significano rispettivamente che la x si avvicina a 0 da destra, cioè per valori maggiori di 0 ,
e che la x si avvicina a 0 da sinistra, cioè per valori minori di 0 )
L'asse delle x , di equazione y = 0 , si chiama asintoto orizzontale mentre l'asse delle y , di equazione x = 0 ,
si chiama asintoto verticale :
Un'altra fondamentale proprietà dell'iperbole equilatera è di essere simmetrica rispetto alla retta bisettrice del
I e III quadrante, cioè la retta di equazione y = x :
Questa simmetria fornisce il fatto che :
AH = HB
dove i punti A e B sono individuati da una generica retta perpendicolare alla retta bisettrice y = x (lasciamo al
lettore interessato l'interessante esercizio di dimostrare questo asserto).
Vi è anche una simmetria rispetto alla bisettrice del II e IV quadrante, la retta y = -x , che qui non prendiamo in
considerazione.
I punti di incontro fra l'iperbole equilatera e la bisettrice y = x si chiamano vertici dell'iperbole :
essi si individuano risolvendo il sistema :
che, uguagliando, fornisce la semplice equazione :
ovvero :
che è una equazione di secondo grado le cui soluzioni sono :
(ricordiamo che, come abbiamo posto sopra, k è qui positivo).
Le coordinate dei vertici sono allora :
e 
.
Lasciamo ancora una volta al lettore volenteroso di vedere come cambiano le cose nel caso della iperbole con k
negativo.
02 - Dispersione della luce, aberrazione cromatica delle lenti.
La luce, passando da un mezzo ad un altro (per esempio da aria a vetro) con angolo di incidenza diverso da zero, subisce
una deviazione nella sua propagazione che va sotto il nome di rifrazione. L'ammontare della deviazione dipende dalla
frequenza (colore) della luce. La luce rossa viene deviata di meno, la luce violetta viene deviata di più. Siccome la
luce bianca è composta da frequenze diverse (colori dal rosso al violetto), essa, passando da un mezzo ad un altro, subisce
diverse rifrazioni in dipendenza dalla frequenza in modo che si ottiene la dispersione della luce bianca nei vari colori
(convenzionalmente questi colori si dice che siano 7 ) :
In una lente convergente si ha sempre dispersione, per cui in effetti si vengono a formare vari fuochi, uno per ogni
colore :
Questo fenomeno si chiama aberrazione cromatica e costituisce un grave limite all'utilizzo delle lenti perché le
immagini che si ottengono risultano scomposte nei vari colori in modo tale da renderle alquanto "disturbate" (aberrate,
appunto).
Mostriamo nel seguente grafico una descrizione più precisa del fenomeno :
(angoli di rifrazione indicativi)
E' possibile però, almeno in parte, ovviare a questo inconveniente. Il primo dispositivo atto a ridurre l'aberrazione
cromatica compare in Inghilterra nel 1733 ed è chiamato doppietto acromatico.
Il doppietto acromatico è costituito da una lente biconvessa unita ad una lente piano-concava costituita da materiale
con indice di rifrazione maggiore (cioè, a parità di distanza focale, capace di deviare maggiormente i raggi di luce)
della prima lente. L'aggiunta di questa seconda lente all'obiettivo ha l'effetto di riunire i fuochi rosso e violetto in un
unico fuoco.
La lente biconvessa è costituita da vetro crown, mentre quella piano-concava da vetro flint. Il flint è un vetro otticamente
più denso del crown. Solo in questo modo i due fuochi estremi (rosso e violetto) vengono portati a sovrapporsi. Per gli
altri colori intermedi, purtroppo, la focalizzazione non avviene nel nuovo fuoco F per cui l'aberrazione non è corretta
completamente. Per una maggiore correzione dell'aberrazione cromatica si ricorre a sistemi di tre lenti, i cosiddetti
sistemi apocromatici che qui non prenderemo in considerazione.
L'entità della correzione dell'aberrazione cromatica ottenibile dal doppietto acromatico è descritta dal seguente grafico :
Dal grafico si vede bene che per l'obiettivo singolo il fuoco del rosso è molto distante dal fuoco del violetto. Per il
doppietto acromatico, invece, i fuochi dei due colori estremi sono molto vicini e coincidono pressoché con il punto
F mentre i fuochi dei colori intermedi si allontanano un po'.
Fine.