Siano la parabola di equazione
ed il punto 
. Si
trovino le equazioni delle tangenti
alla parabola passanti per P .
Soluzione alternativa a quella data lo scorso 02/09/2005.
Si tratta di trovare le due rette tangenti
e 
indicate
nel grafico :
Per fare questo immaginiamo di disegnare le rette tangenti alla parabola nei suoi punti :
e di imporne il passaggio per
:
Si vengono così ad individuare le due rette tangenti
e .
Dal punto di vista analitico, indichiamo con Q un generico punto della parabola e determiniamo la retta
tangente alla parabola passante per esso. Imponiamo poi che tale retta passi per P .
Se chiamiamo con
l'ascissa di Q , la sua ordinata sarà 
perché Q appartiene alla parabola
e quindi le sue coordinate devono soddisfare l'equazione della parabola. Il punto Q sarà allora :
ovvero, geometricamente, chiamando con t la retta tangente alla parabola in Q :
L'equazione di una generica retta r passante per Q :
è :
dove
è
l'ordinata di Q e m è il coefficiente angolare della
retta r . Siccome l'ordinata
di Q vale
possiamo
sostituire e scrivere :
.
D'altra parte, il coefficiente angolare m della retta tangente alla parabola in Q eguaglia la pendenza (derivata)
della parabola in Q .
La pendenza (derivata) di una parabola generica
è, come sappiamo, 
.
Nel nostro caso avremo allora che la pendenza della parabola in Q vale :
(essendo per noi a = 1 , b = 2 , x =
).
Ponendo il coefficiente angolare m uguale alla pendenza della parabola in Q abbiamo
da
cui ricaviamo (sostituendo in m nella precedente equazione
) :
.
Questa è l'equazione (non semplificata !!) della retta tangente alla parabola in Q e, se la "costringiamo" a passare
per il punto
,
avremo trovato le rette tangenti
e cercate.
Per costringerla a passare per P basta sostituire nella x e nella y della suddetta equazione le coordinate di
P che sono x = 1 e y = 1 . Otteniamo perciò :
che è una equazione di secondo grado in
(l'ascissa di Q ). Calcolando il prodotto a destra, otteniamo :
e, semplificando :
da cui :
.
Tale equazione di secondo grado può essere risolta semplicemente raccogliendo la
:
da cui si ricava direttamente (un prodotto è nullo quando è nullo un suo fattore):
e 
che rappresentano le ascisse dei punti due di tangenza
, 
cosi come si
può verificare nel grafico :
Le pendenze delle rette tangenti
e saranno
allora :
e :
(abbiamo sostituiti 0 e 2 nella formula
che dà il coefficiente angolare (= pendenza) della
retta tangente alla parabola nel punto Q ).
I valori
e 
(uguali
a quelli trovati con il precedente procedimento) rappresentano quindi i
coefficienti angolari delle rette tangenti
e
alla parabola passanti per P :
Questo procedimento, rispetto al precedente, è molto più "elegante" ed "intelligente" perché utilizza il concetto
di pendenza (derivata), concetto alla base del calcolo infinitesimale differenziale.
Si noti infine che, per valori di m compresi fra 2 e 6 , cioè per
, le rette passanti per P non
incontrano la parabola :
02 - Riflessione su specchi curvi.
Fra i vari tipi di specchi rivestono un particolare interesse ed importanza gli specchi curvi concavi e convessi.
Tralasciamo perciò l'approfondimento dello studio degli specchi piani rivolgendoci subito a quelli curvi.
Prendiamo in rassegna gli specchi concavi sferici, concavi parabolici, convessi sferici.
- 1 - Specchio concavo sferico.
Si tratta di una calotta sferica con la parte interna riflettente. Un tale specchio si dice concavo :
ed è ottenuto sezionando una sfera con un piano. La calotta così ottenuta è fondamentale (come vedremo più
avanti) che sia piccola rispetto al raggio della sfera.
Si ha la seguente nomenclatura :
(il centro C è il centro della sfera da cui è stato ricavato lo specchio).
Consideriamo ora un raggio luminoso parallelo all'asse ottico (principale) che dall'esterno colpisce lo specchio.
Supponiamo che tale raggio sia vicino all'asse medesimo. Il raggio sarà riflesso e a causa delle leggi della
riflessione si avrà :
essendo l'angolo di incidenza uguale all'angolo di riflessione (
). Si noti che, essendo lo specchio curvo, per
ottenere la riflessione abbiamo tracciato la retta tangente allo specchio. Si noti anche che la normale alla suddetta
tangente è un raggio della sfera (da cui è stato ricavato lo specchio), cioè passa per C .
Il punto in cui il raggio riflesso interseca l'asse ottico è stato indicato con F .
Considerando altri raggi paralleli all'asse ottico (ad esso vicini) si ottiene :
da cui si vede chiaramente che tutti i raggi riflessi passano per il punto F che per questo è detto fuoco dello
specchio. Il fuoco F si trova a metà del segmento VC e la distanza VF si chiama distanza focale. Abbiamo
cioè :
VF = FC .
La condizione per cui i raggi riflessi passino tutti per F è che i raggi incidenti, paralleli all'asse ottico, siano
vicini al medesimo. Se ciò non avviene, la convergenza del raggio riflesso non si verifica più in F :
e si ha perciò il fenomeno dell'aberrazione.
- 2 - Specchio concavo parabolico.
Se invece di sezionare una sfera, sezioniamo un paraboloide, otteniamo uno specchio concavo a sezione
parabolica che ha la proprietà per cui la convergenza nel fuoco si ha indipendentemente dalla distanza dall'asse
ottico del raggio incidente (ad esso parallelo). Questo dipende da una nota proprietà della parabola.
Si hanno così gli specchi concavi parabolici che sono quindi più "precisi" di quelli sferici ed in essi non si ha
l'aberrazione descritta precedentemente. Gli specchi parabolici, però, sono più costosi per cui, per applicazioni
in cui la precisione non è necessaria, si utilizzano specchi sferici (più semplici da costruire e quindi più economici).
Quando lo specchio ha un'apertura piccola, parabola e sfera coincidono. Una sfera ed un paraboloide tangenti
praticamente coincidono nelle vicinanze del vertice comune V :
Per questo motivo, quando nelle applicazioni pratiche si è sicuri che i raggi paralleli all'asse ottico sono ad essi vicini,
è sufficiente utilizzare uno specchio concavo sferico.
In uno specchio concavo parabolico in definitiva non importa a che distanza sono i raggi incidenti paralleli all'asse
ottico : essi vengono riflessi e tutti convergono nel fuoco.
Molte sono le applicazioni degli specchi concavi fin dall'antichità. Si narra che Archimede incendiasse le navi
romane con specchi a lunga focale (gli specchi ustori). Nella vita di tutti i giorni usiamo torce elettriche,
fari automobilistici ecc. ecc.
In questi casi abbiamo la sorgente luminosa nel fuoco per cui si ha il fenomeno inverso a quelli descritti sopra.
I raggi escono parallelamente dallo specchio per illuminare ecc.
Il caso dei fari anabbaglianti è interessante. Per questi si pone una sorgente luminosa ad una distanza maggiore
della focale e si scherma la parte inferiore della sorgente luminosa. Si ha allora che i raggi fuoriescono con una
inclinazione in modo da illuminare verso il basso :
- 3 - Specchi convessi.
Consideriamo uno specchio ottenuto con una calotta sferica specchiata all'esterno. In questi tipi di specchi,
i cosiddetti specchi convessi, la riflessione avviene nel seguente modo :
Se i raggi incidenti paralleli all'asse ottico sono sufficientemente vicini al medesimo, essi vengono riflessi in modo
che è come se uscissero tutti dal fuoco F che è dall'altra parte dello specchio. L'intersezione di tutti i raggi riflessi
cade in F (anche se i raggi, fisicamente, non passano per F ).
Tali specchi sono usati per costruire gli specchietti retrovisori e gli specchi stradali. Questo perché, con tali
specchi è possibile "vedere" oggetti sotto un grande angolo :
Fine.