Siano la parabola di equazione
ed il punto 
. Si
trovino le equazioni delle tangenti
alla parabola passanti per P .
Soluzione.
Si tratta di trovare le due rette tangenti
e 
indicate
nel grafico :
Per disegnare la parabola abbiamo ricavato il suo vertice con la nota formula
per cui
si ricava
(ricordiamo che la scrittura 
indica che dopo avere trovato 
, in questo
caso -1 , lo si sostituisce nella x dell'equazione della parabola e si eseguono i calcoli, ottenendo qui - 2).
Abbiamo ricavato anche l'ordinata all'origine
, che è il punto della parabola di
ascissa 0 , ed i punti
A e B in cui la parabola interseca l'asse delle x che ha equazione y = 0. Tali punti si trovano quindi
risolvendo l'equazione
che fornisce :
che sono appunto le ascisse rispettivamente di A e B . Per fare questo abbiamo usato la formula risolutiva
dell'equazione generica di secondo grado :
che, come ben sappiamo, è :
.
Il fatto che da punto P si possano mandare due rette tangenti alla parabola e non una sola o tre sarà chiaro
più avanti.
Ricordiamo qui che una retta è secante di una curva se la incontra in due punti mentre è tangente se la
incontra in un solo punto (si preferisce dire in due punti coincidenti). Graficamente :
Il perché si preferisce dire che una retta tangente incontra la curva in due punti coincidenti è illustrato dal
seguente grafico :
Immaginando di muovere, ruotando, la retta secante tenendo fisso il punto P come indicato, si ottiene che
l'altro punto di intersezione (in sequenza Q', Q'', Q''', ...) tende a coincidere con P quando la secante diventa
tangente. Abbiamo quindi due punti distinti che diventano due punti coincidenti (un solo punto).
Per ricavare le equazioni delle due rette tangenti, consideriamo il fascio di rette passanti per P (fascio è
sinonimo di insieme) :
Ricordando che l'equazione di un fascio di rette passanti per un generico punto
è :
,
essendo m il coefficiente angolare (ovvero la pendenza) di una retta qualunque del fascio, otteniamo :
essendo le coordinate di P nel nostro caso 1 e 1 .
L'equazione appena trovata può essere semplificata sommando ad ambo i membri +1 :
ed ottenendo perciò :
da cui, moltiplicando, abbiamo in fine :
.
Questa è l'equazione di una generica retta r passante per
.
Tale retta incontrerà la parabola in
generale in due punti C e D . La retta r può in particolare non incontrare per nulla la parabola o esserle
tangente (individuare le rette tangenti è lo scopo di questo esercizio). Al variare del coefficiente angolare m
si hanno i vari casi appena descritti.
In generale, in geometria analitica, per ricavare le coordinate dei punti di incontro fra due curve (in questo
caso retta e parabola) basta fare il sistema fra le loro equazioni. Scriviamo allora :
che risolveremo semplicemente uguagliando le y :
ed ottenendo così una equazione di secondo grado in x contenente il parametro m (la lettera m ).
L'equazione può essere resa in forma semplice portando a sinistra i termini alla destra dell'uguale. Per fare
questo basta sommare ad ambo i membri -mx , + m , -1 . Si ha perciò :
da cui :
cioè, raccogliendo :
(l'ultima coppia di parentesi è per comodità).
Risolvendo questa equazione troviamo le ascisse di C e D (i punti di incontro fra la retta generica passante
per P e la parabola). Trattandosi di un'equazione di secondo grado avremo un generale due valori di x
(corrispondenti alle ascisse dei due punti d'incontro). Tali valori possono però non esistere (essere non reali)
e quindi la retta non incontra la parabola o essere coincidenti (identici). E' questo il caso della tangenza !!
Basterà allora porre che le due soluzioni dell'equazione suddetta siano coincidenti, cioè, porre
,
ovvero :
,
essendo
ed
in questo caso 
, 
, 
.
Ricordiamo che le soluzioni
dell'equazione di secondo grado
,
introducendo il discriminante
, diventano 
e
quindi esse sono coincidenti se
,
infatti, in questo caso, si ha
che è appunto un'unica soluzione..
Semplificando
si ottiene :
(abbiamo elevato al quadrato il binomio usando la formula
) e quindi :
.
Risolvendo si ottiene infine :
.
Per m = 2 e per m = 6 , allora, le rette passanti per P sono tangenti alla parabola.
Abbiamo trovato "esattamente" due rette passanti per P tangenti alla parabola e l'abbiamo fatto usando metodi
algebrici applicati alla geometria. Osservando il grafico, quindi col solo approccio geometrico, la deduzione di
quante siano tali rette tangenti non è chiara, in quanto il punto P è vicino alla parabola e la stessa è rapidamente
crescente. Cogliamo qui l'occasione per sottolineare la "potenza" della geometria analitica !!!
Lasciamo al lettore la verifica grafica del risultato. Ci limitiamo a ricordare che m indica il coefficiente angolare
di tali rette.
02 - Ottica.
L'ottica studia la propagazione della luce.
Non si occupa quindi della natura della luce né di come essa è prodotta ed assorbita. In prima approssimazione
si osserva sperimentalmente che la luce si propaga, in mezzi omogenei, per raggi che non sono altro che linee
rette.
Lo studio della propagazione della luce tramite raggi è l'oggetto dell'ottica geometrica.
In realtà le cose sono molto più complicate e la luce si può immaginare sia costituita da raggi solo in alcune
ben precise situazioni ed entro certi limiti.
La storia delle ipotesi scientifiche sulla luce inizia con Newton nella seconda metà del ' 600. Egli ipotizzò
che la luce fosse costituita da corpuscoli colorati in moto rettilineo. Newton fu quindi il padre dell'ipotesi
corpuscolare della luce. Tramite quella ipotesi, egli riuscì a spiegare tutti i fenomeni luminosi noti compresa
la dispersione della luce bianca nei vari colori (arcobaleno).
Nello stesso periodo, Huygens ipotizzò invece che la luce fosse costituita da onde. Questa è la cosiddetta
ipotesi ondulatoria che però per lungo tempo non ottenne grandi successi e ad essa fu preferita quella
corpuscolare.
Solo nell' '800 l'ipotesi ondulatoria divenne preminente e tutti fenomeni luminosi allora conosciuti furono spiegati
in termini di onde elettromagnetiche (la luce è infatti un tipo di onda elettromagnetica). L'ipotesi corpuscolare
fu allora abbandonata.
Ma nel ' 900 nuovi fenomeni prima sconosciuti, quali per esempio l'effetto fotoelettrico, per essere spiegati,
richiesero l'ipotesi che la luce fosse costituita da fotoni, corpuscoli di luce (Planck, Einstein). Si ipotizzò
allora che la luce avesse una duplice natura, corpuscolare ed ondulatoria, e che, a seconda dei casi, si
poteva manifestare l'una o l'altra.
03 - Ottica geometrica.
I fenomeni tipici dell'ottica geometrica (con la quale essi si spiegano con grande approssimazione) sono :
- la riflessione :
è il fenomeno con cui un raggio di luce viene riflesso da una superficie speculare (uno specchio) :
- la diffusione :
è il fenomeno per cui i raggi di luce vengono riflessi in ogni direzione da una superficie non speculare
(un corpo ruvido, per esempio). I raggi inizialmente paralleli vengono riflessi in ogni direzione dalla
non uniformità microscopica (vi sono varie microsuperficie riflettenti secondo angoli diversi) della
superficie riflettente :
- la rifrazione :
è il fenomeno per cui un raggio di luce, passando da un mezzo trasparente in un altro, di diversa
densità, devia il proprio percorso :
Si noti che una parte del raggio incidente viene riflessa. Si noti anche che, il raggio di luce uscente
dal vetro all'aria, alla fine, se le superficie del vetro sono parallele, sarà parallelo al raggio incidente.
Se le superficie del vetro non sono parallele, il raggio uscente non è più parallelo al raggio entrante :
- la dispersione :
è il fenomeno per cui la luce bianca, passando attraverso un prisma, si scompone nei vari colori
che la compongono che vanno dal rosso al violetto, i cosiddetti sette colori dell'arcobaleno :
Il fenomeno si spiega a causa del fatto che i vari colori subiscono rifrazioni diverse nel passare
dall'aria al vetro ed ancora nell'aria. Il rosso è il meno deviato, il violetto il più deviato.
Passiamo ora in rassegna i vari fenomeni più dettagliatamente.
04 - Riflessione.
Consideriamo un raggio che viene riflesso da uno specchio e determiniamo esattamente le caratteristiche del
fenomeno. Innanzi tutto, nel punto in cui il raggio incidente tocca lo specchio, si deve costruire la normale
, ovvero la retta perpendicolare al piano in quel punto. Detto questo occorre precisare che il raggio incidente
si indica con
,
il raggio riflesso con 
, l'angolo di incidenza, che è l'angolo fra il raggio incidente e
la
normale, con
e l'angolo di riflessione, l'angolo cioè fra il raggio riflesso e la
normale, con 
.
In sintesi :
Precisata la "nomenclatura" del fenomeno della riflessione, affermiamo che valgono le seguenti leggi :
- 1 - il raggio incidente, la normale ed il raggio riflesso sono posti su uno stesso piano
- 2 - l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione, cioè
Queste sono le leggi della riflessione e le possiamo considerare desunte dall'esperienza anche se possono
essere spiegate sia tramite il modello corpuscolare che quello ondulatorio. Con il modello corpuscolare la
spiegazione è più semplice ed intuitiva. Basta considerare la riflessione della luce alla stessa stregua dell'urto
di biglie contro la sponda di un biliardo.
Fine.