.
Vogliamo qui ricavare una formula generale per la pendenza di una qualunque parabola (con asse
verticale).
Consideriamo la generica parabola di equazione
il cui grafico è :
Prendiamo su di essa il punto P di ascissa x . Le coordinate di P saranno allora :
.
Prendiamo sulla parabola anche il punto Q di ascissa
. Le coordinate di Q saranno allora :
.
Per ricavare l'ordinata di Q abbiamo come sempre sostituito la sua ascissa (che è
) nell'equazione
della parabola al posto della x .
Abbiamo così ottenuto la secante PQ alla parabola a partire dal punto P .
Come al solito, calcoliamo ora la pendenza della retta PQ che è definita dal rapporto :
così come indicato nel grafico :
Abbiamo cioè :
.
Procedendo con le usuali semplificazioni otteniamo :
.
La pendenza di PQ è allora :
e, poiché per ottenere la retta tangente (a partire dalla secante) si esegue il limite
, ricaviamo
che la pendenza della retta tangente alla parabola in P , ovvero la pendenza della parabola in P ,
ovvero la derivata dalla funzione che rappresenta la parabola nel punto di ascissa x , vale :
(la derivata si indica simbolicamente con l'accento) in quanto
.
Graficamente :
(se il cateto orizzontale vale 1 ed il cateto verticale vale
, allora la pendenza della tangente è
esattamente
).
02 - Esempio.
Come esempio di immediato calcolo della pendenza di una parabola in alcuni suoi punti consideriamo la
parabola
il cui
grafico è :
dove il vertice è
, il punto A ha coordinate (-2 , 3) ed il punto B
ha coordinate
(0 , 3) (ordinata all'origine).
Calcoliamo le pendenze (le derivate) della parabola nei suddetti punti V , A e B .
Innanzi tutto calcoliamo la derivata
della parabola in questione. Applicando la formula ricavata sopra
otteniamo immediatamente :
.
Nel vertice V si ha allora :
ovvero la pendenza della parabola nel vertice è, come deve essere, nulla. Graficamente :
Nel punto A si ha :
e nel punto B si ha :
cioè, graficamente :
Si noti che nei punti A e B , per evidenti ragioni di simmetria (l'asse della parabola è asse di simmetria),
le pendenze sono opposte di segno ed uguali in valore assoluto.
Intuitivamente notiamo che il punto A è un punto di decrescenza, il punto V è un punto di minimo
relativo ed il punto B è un punto di crescenza. In essi la derivata è rispettivamente negativa, nulla
e positiva. Questa considerazione introduce un grande capitolo della matematica, lo studio di funzione,
che si basa fondamentalmente sullo studio del segno della derivata :
03 - Esercizio per casa.
Sia la parabola di equazione
ed il punto 
. Si
trovino le equazioni delle tangenti
alla parabola passanti per P .
Fine.