E' stata ripetuta la seconda parte dei contenuti della suddetta conferenza con riferimento alla presentazione
PowerPoint :
MeccanicaClassica.ppt
02 - Altro esempio di pendenza della parabola.
Consideriamo la semplice parabola di equazione
e vogliamo trovarne la pendenza (derivata)
nel suo punto P di ascissa
ovvero nel punto 
. Si tratta, come ben sappiamo, di calcolare
la pendenza della retta tangente alla parabola in P :
Per fare questo prendiamo sulla parabola un punto Q di ascissa
, dove 
è un numero positivo
qualunque. Il punto Q avrà allora coordinate :
(l'ordinata l'abbiamo ottenuta sostituendo semplicemente l'ascissa
nella x dell'equazione della
parabola
).
Abbiano così ottenuto la secante che passa per P e per
Q :
Per calcolare la pendenza della secante PQ basta considerare il triangolo rettangolo PQH e fare il
rapporto fra cateto verticale e cateto orizzontale come indicato in figura :
Essendo :
e :
abbiamo che la pendenza della retta PQ è :
.
Sviluppando i calcoli e semplificando otteniamo :
cioè la pendenza di PQ è :
.
Per ricavare la pendenza della tangente in P (ovvero la pendenza della parabola in P ) immaginiamo di
"spostare" la secante (sempre passando per P ) in modo da che diventi tangente :
In questo processo al limite il punto Q , movendosi verso P , tende a sovrapporsi al punto P e si
ha la perfetta sovrapposizione quando la secante diventa tangente.
Il valore
del segmento PH , in questo processo al limite tenderà a 0 :
La pendenza della tangente alla parabola in P sarà allora 1 perché :
che si legge "uno più epsilon tende ad uno al tendere di epsilon a zero".
La pendenza della parabola in P è la pendenza della retta tangente alla parabola in P ovvero la derivata
della funzione che rappresenta la parabola in
e, valendo essa 1 , si scrive :
oppure :
.
Il fatto che la pendenza appena calcolata sia 1 significa che :
i cateti PH e QH sono uguali e l'angolo in P è di 45° . Una tale pendenza, in un cartello stradale,
sarebbe indicata con 100 % , in quanto 100 % = 100 / 100 = 1 .
03 - Pendenza della parabola
in un punto qualunque.
Vogliamo ora ricavare una formula generale per la pendenza (derivata) della parabola
che
valga per ogni suo punto.
Consideriamo allora il punto P della parabola
di coordinate :
(se l'ascissa dei P è x , la sua ordinata sarà ovviamente
).
La pendenza (derivata) della parabola
nel punto P di ascissa x è la pendenza della retta
tangente
alla parabola in P :
Per calcolare tale pendenza rifacciamoci alla pendenza di una secante passante P (così come mostrato
in precedenza) :
Qui consideriamo il punto Q di coordinate
ed i segmenti :
e :
.
La pendenza di PQ sarà allora :
.
Procedendo con i calcoli e le semplificazioni si ottiene :
e facendo il limite
(epsilon tendente a zero), che equivale al passare dalla secante alla
tangente,
si ottiene :
.
La pendenza della parabola
nel punto P di ascissa x , ovvero la derivata della
funzione
in x , è allora :
(l'apice indica simbolicamente la derivata).
Questa è una formula generale che ci permette di calcolare la pendenza (derivata ) della parabola in ogni
suo punto.
Per esempio, se x = 1 allora la pendenza è 2 , se x = 1/2 allora la pendenza è 1 (come visto negli
esempi precedenti).
Fine.