E' stata ripetuta la prima parte dei contenuti della suddetta conferenza con riferimento alla presentazione
PowerPoint :
MeccanicaClassica.ppt
02 - Pendenza della parabola.
La pendenza di una parabola cambia punto per punto :
La pendenza della parabola (dell'esempio grafico) nel punto A è negativa, nel punto B è nulla e nel
punto C è positiva.
La pendenza della parabola in un punto è data dalla pendenza della retta tangente alla parabola in
quel punto :
Ricordando che la pendenza di una retta, come indicato nel grafico :
,
è data dal rapporto
(cateto verticale / cateto orizzontale), siamo in grado di calcolare la
pendenza
di una parabola in un suo punto. Per questo, consideriamo come esempio la parabola :
nel suo punto
:
Poiché non conosciamo l'equazione della retta tangente alla parabola in A , consideriamo una qualunque
retta passante per A e secante la parabola :
Tale retta secante passerà quindi per A e per B e la indicheremo per comodità AB .
Come possiamo ottenere la retta tangente in A a partire alla retta secante AB ?
Con un processo al limite.
Immaginiamo di muovere la retta secante AB tenendo sempre fisso il passaggio della suddetta secante per
A , ma facendo in modo che il punto B si avvicini sempre di più ad A . Quando il punto B coinciderà
col punto A , avremo ottenuto la tangente.
Visualizziamo questo processo in un grafico dove abbiamo "enfatizzato", per descrivere meglio il concetto,
la "curvatura" della parabola :
Si ottiene la retta tangente quando, in questo processo al limite, i punti B ed A vengono a coincidere.
Si dice perciò che la retta tangente ha con una curva due punti coincidenti in comune (ovvero uno
stesso punto). Si preferisce dire "due punti coincidenti in comune" invece che "un solo punto in comune"
per "sottolineare" il fatto che abbiamo ottenuto la retta tangente con un processo al limite a partire da una
retta secante passante per A che ha, vicino al punto A , un altro punto in comune con la curva.
Ora calcoliamo la pendenza della retta secante AB ed otteniamo la pendenza della retta tangente con il
processo al limite (si dice anche facendo il limite).
Abbiamo indicato con h la misura del segmento AH . Per questo motivo, le coordinate del punto B
saranno :
(il valore dell'ordinata lo abbiamo trovato semplicemente sostituendo nell'equazione della parabola
al posto della x il valore
).
La pendenza (che indichiamo con la sigla "pend") della secante AB sarà allora :
che si semplifica in :
(abbiamo eseguito il quadrato del binomio 1 + h , eliminato i termini con somma algebrica nulla, raccolto
h a fattore comune e semplificato).
La pendenza della retta secante AB è allora 2 + h . Quale sarà la pendenza della retta tangente in A ?
Basterà notare che nel processo al limite di avvicinamento del punto B verso il punto A , il valore h
diventa sempre più piccolo (in valore assoluto), tende cioè a 0 . Nel processo al limite di
intenderemo quindi che :
.
La pendenza della secante AB , che vale 2 + h , se
, diventerà allora 2 . Possiamo scrivere
quindi :
ed affermare che la pendenza della retta tangente alla parabola nel punto
è 2 . Graficamente :
La pendenza di una curva in un punto si chiama anche derivata della curva in quel punto.
Fine.