E-school  di  Arrigo Amadori

in collaborazione con :

Associazione Astrofili Cesenati  http://www.astrofilicesena.it/index.html  

CORSO DI CULTURA SCIENTIFICA DI BASE

 (62') incontro del 25/03/2005 

resoconto

01 - Correzione esercizio di fisica per casa.

Il pedone corre con velocità costante pari a  v = 18km/h = 5m/s (moto rettilineo uniforme). Al 
tempo  t = 0  esso si trova nella posizione  s = 0 . L'equazione oraria del suo moto è allora :

        s = 5t .

L'autobus, al tempo  t = 0 , si trova nella posizione  s = 10 m  . A quell'istante esso inizia a muoversi 
(partendo da fermo) di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione costante  
a = 1 m/s²  (il moto dell'autobus è nella stessa direzione e verso del moto del pedone). L'equazione 
oraria dell'autobus sarà allora :

       

ovvero, sostituendo i dati noti :

       

(la velocità iniziale dell'autobus è nulla).

Il moto del pedone è rappresentato nel grafico tempo-spazio da una retta, mentre quello dell'autobus 
da una parabola.

Costruiamo ora la seguente tabella oraria :

 t(s)   s(pedone)(m)   s(autobus)(m) 
 0  0  10
 1  5  10 + 1/2 = 10,5  
 2  10  10 + 2 = 12
 3  15  10 + 9/2 = 14,5
 4  20  10 + 8 = 18
 5  25  10 + 25/2 = 22,5  
 6  30  10 + 18 = 28
 7  35  10 + 49/2 = 34,5
 8  40  10 + 32 = 42
 ...  ...  ...

ottenuta sostituendo valori di comodo di  t  nelle due equazioni orarie.

Come si vede bene, al tempo  t = 3  il pedone si trova davanti all'autobus. Questo significa che poco 
primo egli lo ha raggiunto. Al tempo  t = 8  l'autobus si trova davanti al pedone. L'autobus ha quindi
sorpassato il pedone prima di quell'istante.

Il grafico dei due moti è :


Da esso si deduce che all'istante  t = 2,8  circa il pedone ha raggiunto l'autobus ed all'istante  t = 7,2  
circa l'autobus ha sorpassato il pedone.

La determinazione grafica dei due punti d'incontro dei grafici è verificabile algebricamente risolvendo 
il sistema :

        .

In generale, in geometria analitica, risolvere il sistema fra le equazioni di due curve significa trovare 
le coordinate dei punti di incontro delle medesime. Questo dipende dal fatto che le coordinate dei 
punti d'incontro di due curve ne soddisfano "contemporaneamente" le equazioni. 

Eguagliando i secondi membri delle due equazioni (essendo ovviamente  s = s ) si ottiene :

       

(la barra  "/" significa che ripetiamo la prima equazione senza riscriverla).

La seconda equazione diventa (portando tutto al primo membro ed ordinando) :

       

da cui, moltiplicando ambo i membri per  2 , si ottiene :

          .

Risolvendo l'equazione di secondo grado così ottenuta usando la nota formula otteniamo :

        .

Negli istanti    e  così trovati avvengono i due "incontri"  fra pedone ed autobus così come verificato 
graficamente.

Se la velocità del pedone fosse opportunamente minore del valore  v = 5  indicato dal problema (a parità 
del moto dell'autobus), potrebbe succedere che il pedone avrebbe una sola occasione di salire sull'autobus 
o addirittura non ne avrebbe alcuna. Graficamente :



02 - Altra applicazione della parabola in fisica.

Due automobili identiche (auto  A  ed auto  B ) stanno procedendo su di una strada rettilinea alla 
velocità costante  v = 90 km/h = 25 m/s . Esse sono poste ad una distanza  d = 20 m .

       

Al tempo  t = 0  l'automobile  B  inizia a frenare con accelerazione costante negativa tale per cui 
in  essa è completamente ferma. L'automobile  A  , dopo un tempo di reazione  ,
comincia a frenare allo stesso modo (le due auto sono identiche a tutti gli effetti).

L'automobile  A  tamponerà l'automobile  B ?

Innanzi tutto calcoliamo l'accelerazione di frenata. Essa sarà :

        .

L'equazione oraria dell'automobile  B  sarà allora :

         

(supponendo che al tempo  t = 0  l'auto  A  si trova nella posizione  s = 0 ).

Si tratta di una parabola con concavità rivolta verso il basso.

Per disegnarla, possiamo prendere in considerazione la seguente tabella oraria :        

 auto B 
 t(s)   s(m) 
 0  20
 1  20 + 25 - 2,5  = 42,5
 2  20 + 50 - 10 = 60
 3  20 + 75 - 22,5 = 72,5
 4  20 + 100 - 40 = 80
 5  20 + 125 - 62,5 = 82,5
 ...  ...


L'equazione oraria dell'automobile  A  è invece composta di due parti : 

        - 1 -    per  . In questo intervallo di tempo, il moto è rettilineo uniforme con equazione 
                   oraria :

                            s = 25t 

                   che rappresenta una retta

e :

        - 2 -    per  t > 1 . In questo intervallo di tempo, il moto è rettilineo uniformemente accelerato con 
                   equazione oraria :

                            .

                   che rappresenta una parabola con concavità rivolta verso il basso. Il perché della formula 
                   scritta sopra è evidente considerando che per un eventuale cronometro che segni  t = 0  
                   quando l'automobile  A  inizia a frenare l'equazione oraria di  A  sarebbe :

                            ,

                   essendo lo spazio iniziale  25 m , la velocità iniziale  25 m/s e l'accelerazione  -5 m/s² . 
                   Ma il tempo lo misuriamo quando  B  inizia a frenare, per cui al posto di  t  dobbiamo 
                   porre  t - 1 .

Disegnando i grafici delle curve otteniamo :



da cui si deduce che l'automobile  A  tampona  B  poco prima che l'auto  B  sia completamente ferma.

Per evitare l'urto (a parità di velocità) basterebbe aumentare la distanza di sicurezza fra le auto ...

Fine.

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