dell'equazione di secondo grado.
Data la parabola di equazione
, le ascisse dei sui punti di intersezione con l'asse
delle x , per esempio
e 
nella figura
:
,
si calcolano risolvendo l'equazione di secondo grado
(le ordinate dei punti
d'incontro fra la parabola e l'asse delle x sono nulle per cui, ponendo y = 0 nell'equazione della
parabola, si ottiene
) .
Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono :
ovvero :
dove l'espressione
è detto il discriminante dell'equazione
.
Le coordinate dei punti di intersezione fra parabola ed asse delle x sono quindi (scritte in funzione
di
) :
(il valore col segno meno davanti alla radice si usa associarlo ad
).
In base ai valori dei parametri della parabola a, b, c , il discriminante
può assumere valore positivo,
negativo o nullo.
Si hanno perciò i seguenti casi :
- 1 - Se
,
il termine 
assume un valore reale per cui si hanno due soluzioni reali
distinte (
):
.
Geometricamente ciò significa che la parabola incontra l'asse delle x in due punti distinti :
oppure :
- 2 - Se
,
il termine assume valore nullo per cui si hanno due soluzioni reali
coincidenti (
) :
Geometricamente ciò significa che la parabola incontra l'asse delle x in due punti
coincidenti (in un solo punto) ovvero si dice che la parabola è tangente nel vertice
all'asse delle x :
oppure :
Si noti che anche in questo caso si afferma che le soluzioni sono due, anche se esse sono
coincidenti (uguali).
- 3 - Se
,
il termine assume
un valore non reale (immaginario) per cui si hanno due
soluzioni non reali (immaginarie) distinte (
) che per il momento non rappresentiamo
algebricamente.
Geometricamente ciò significa che la parabola non incontra l'asse delle x :
oppure :
Quanto qui sopra mostrato giustifica pienamente il perché del nome "discriminante". Il
di un'equazione
di secondo grado "discrimina" i vari tipi di soluzione.
02 - Esempi di intersezione fra parabola e asse delle x .
Seguono alcuni esempi di calcolo di intersezioni fra parabola e asse delle x :
- 1 -
L'equazione di secondo grado
,
che si ottiene uguagliando la y a 0 ,
fornisce le soluzioni reali distinte (
) :
.
Graficamente, i punti d'incontro con l'asse delle x sono due (distinti) :
- 2 -
L'equazione di secondo grado
, che si ottiene uguagliando la y a 0 ,
fornisce le soluzioni reali coincidenti (
) :
.
Graficamente, i punti d'incontro con l'asse delle x sono due coincidenti (tangenza) :
- 3 -
L'equazione di secondo grado
, che si ottiene uguagliando la y a 0 , non
fornisce soluzioni reali perché il
è negativo. Infatti :
.
Le soluzioni sarebbero allora :
che non solo reali perché la radice
non è possibile nel campo reale (nessun numero
reale elevato al quadrato fornisce come risultato -4 ). Geometricamente, questo significa che
la parabola non incontra l'asse delle x :
03 - Intersezione fra parabola e retta.
Sia la parabola
e sia la retta 
. Si determinino le coordinate dei loro
punti d'incontro.
I punti d'incontro fra due curve in generale sono tali per cui le loro coordinate soddisfano le equazioni
delle due curve. Questo concetto, come più volte ribadito, è alla base della geometria analitica.
Questo significa che le coordinate dei punti d'incontro fra la retta e la parabola suddetta devono soddisfare
le loro equazioni, cioè devono essere soluzioni del sistema :
.
La risoluzione di un tale sistema è molto semplice in quanto basta uguagliare le due y . Si ottiene perciò :
che è una equazione di secondo grado nell'incognita x . Essa può essere semplificata sommando ad
ambo i membri il termine
ed ottenendo perciò :
da cui si ricava :
.
La soluzione di questa equazione è immediata (non serve utilizzare la formula risolutiva generale delle
equazioni di secondo grado) e fornisce :
.
I due punti d'incontro fra la parabola e la retta hanno quindi ascissa
e 
rispettivamente. Li
possiamo indicare come :
e :
(i "puntini" indicano che ancora non abbiamo calcolato le ordinate).
Per calcolare le ordinate dei punti d'incontro A e B basta sostituire i valori appena trovati (delle ascisse)
nella x di una delle due equazioni (per comodità scegliamo quella della retta perché è più semplice) e
fare i calcoli. Otteniamo perciò :
e :
.
Graficamente :
04 - Intersezione fra due parabole.
Siano le parabole
e 
. Si
determinino le coordinate dei loro punti
d'incontro.
Tali coordinate devono soddisfare entrambe le equazioni delle parabole, ovvero sono soluzioni del
sistema :
.
Uguagliando le y otteniamo :
che rappresenta una equazione di secondo grado nell'incognita x . Per semplificarla portiamo tutti i termini
al primo membro. Per fare questo sommiamo ambo i membri a
ottenendo :
che fornisce :
.
Si tratta di una equazione di secondo grado ridotta in forma semplice. Le sue soluzioni sono :
.
Queste sono le ascisse dei due punti d'incontro A e B fra le due parabole. Per trovare le rispettive
ordinate basta sostituire questi valori nella x di una delle due equazioni. Lasciamo al lettore interessato
lo sviluppo di questi calcoli. Graficamente le due parabole risultano :
(il punto A è stato posto sul grafico senza verificare se si trova sopra o sotto l'asse delle x ).
Fine.