Abbiamo visto la volta scorsa che per ricavare le ascisse dei punti di intersezione fra la parabola
di equazione
e l'asse delle x (che è la retta di equazione y = 0 ),
si perviene
all'equazione di secondo grado :
.
Questo significa che le suddette ascisse soddisfano l'equazione di secondo grado
.
Osservando il grafico :
e sfruttando l'evidente simmetria, scriviamo le ascrisse
e 
come :
e :
.
Sostituiamo ora questi valori nell'equazione di secondo grado
limitatamente al
caso di
(sostituendo
si perverrebbe allo stesso risultato).
Si ottiene allora :
.
Svolgiamo il quadrato del binomio ricordando la formula
.
Ricaviamo
perciò :
ed, eseguendo i prodotti, eliminiamo le parentesi ottenendo :
.
Semplificando si ha :
ed ancora :
.
Il terzo termine può essere scritto come
per cui diventa simile al primo termine. In questo
modo, sommando algebricamente i due termini simili (
), otteniamo :
.
L'espressione che abbiamo trovato non è altro che un' equazione di secondo grado nell'incognita
(i valori a , b , c sono i coefficienti della parabola, quindi si considerano assegnati) particolarmente
semplice in quanto presenta solo il termine al quadrato
senza il termine di primo grado
.
Separiamo il termine
.
Si ottiene :
(abbiamo sommato
e -c ad ambo i membri) ed ancora :
(abbiamo diviso ambo i membri per a ).
Per ricavare il valore della
basta estrarre la radice quadrata ad ambo i membri (infatti se, per
esempio,
, abbiamo
che A = 10 ma anche che A = -10 (sia 10 che -10
elevati al
quadrato danno entrambi 100 !!)). Si ottiene allora :
dove il simbolo
significa appunto che abbiamo due valori, uno positivo e l'altro negativo
(oppure
entrambi nulli), che elevati al quadrato danno
.
Possiamo anche scrivere con un "eloquente" simbolismo :
.
Il radicando
può essere scritto in una forma migliore notando che esso è uguale a 
e quindi a
per
cui possiamo scrivere :
ovvero (essendo il denominatore un quadrato) :
.
I due valori di
che abbiamo ottenuto sono quindi uno positivo e l'altro negativo (oppure
entrambi
nulli). I valori delle ascrisse
e sono allora
(scritti sinteticamente) :
ovvero, scrivendo un unico denominatore :
.
Questa è la formula che fornisce i valori delle ascisse
e dei punti
d'incontro della parabola
con l'asse
delle x ovvero che risolvono l'equazione di secondo grado
.
Si tratta di una formula fondamentale per tutta la matematica che useremo molto spesso.
Essa può essere scritta anche come :
oppure come :
(di solito alla soluzione
si fa corrispondere quella col segno - perché geometricamente è
posta a
sinistra di
).
Il radicando
si chiama discriminante e usualmente si indica con la lettera greca
"delta"
maiuscola, per cui si pone :
e di conseguenza :
.
Il significato del discriminante è molto importante. Siccome la radice quadrata dà come risultato un numero
reale solo se il radicando è positivo o nullo, la conoscenza del discriminante "discrimina" i tipi di soluzioni
possibili.
Fine.