Consideriamo il fuoco e la direttrice di una parabola qualunque di equazione :
il cui grafico è :
All'inizio dello studio delle parabole, partimmo con il definire la parabola che ha vertice nell'origine
(ed asse verticale, come sempre). Il fuoco di una tale parabola aveva, come inizialmente ponemmo,
ordinata uguale a d :
Sviluppando i calcoli introducemmo ad un certo punto la relazione :
che, invertita, fornisce :
.
Ritornando alla parabola generica (con vertice in qualunque punto del piano) siamo allora in grado di
definirne le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice. Considerando che il vertice ha coordinate :
e notando che il fuoco ha la stessa ascissa del vertice, possiamo scrivere :
perché l'ordinata del fuoco è uguale a quella del vertice maggiorata del valore d che è esprimibile,
come detto sopra, in funzione di a .
L'equazione della direttrice sarà di conseguenza :
.
Graficamente :
02 - Intersezione fra una parabola e l'asse delle x .
La determinazione dei punti di intersezione di una parabola con l'asse delle x è particolarmente
importante perché conduce alla soluzione di una equazione di secondo grado, equazione che riveste
in matematica un ruolo di grande rilievo.
Si può addirittura affermare che, visto il parallelismo fra algebra e geometria introdotto dagli assi
cartesiani, la soluzione di una equazione di secondo grado può essere ricondotta ad un problema
geometrico che coinvolge le parabole.
Le diverse possibilità di intersezione fra una parabola e l'asse delle x sono indicate nel grafico :
Nei casi A e D , non si hanno punti di intersezione.
Nei casi B e E le parabole sono tangenti all'asse delle x per cui intersecano il suddetto asse in
un solo punto oppure (come è meglio dire) in due punti coincidenti (il perché di questa affermazione
sarà chiaro in seguito).
Nei casi C e F le parabole intersecano l'asse delle x in due punti distinti.
Consideriamo quest'ultimo caso ed indichiamo con
e 
le ascisse
dei due punti d'incontro :
I due punti in questione stanno sulla parabola e per questo le loro coordinate devono soddisfare
l'equazione della stessa che è :
.
Inoltre hanno ordinata nulla per cui per essi possiamo scrivere :
y = 0 .
Riunendo queste due equazioni otteniamo il sistema :
.
Un sistema di due equazioni significa che esse devono essere soddisfatte "contemporaneamente" dalle
coordinate dei due punti di intersezione.
Se y è uguale sia a
che a 0 , allora sarà anche che :
.
Questa è una equazione di secondo grado che è soddisfatta da
e ,
cioè
e sono
le sue soluzioni.
Trovare le ascisse dei punti di intersezione fra una parabola e l'asse delle x equivale quindi a risolvere
una equazione di secondo grado e viceversa.
I due valori
e hanno
la proprietà di avere come valore medio l'ascissa del vertice della
parabola :
che vale
. Per
questo motivo possiamo scrivere :
e :
dove
rappresenta la semidistanza (positiva) fra i due punti.
Graficamente :
A questo punto sostituiamo i valori di
e così
come scritti sopra in funzione di
nell'equazione
.
Continua ...
03 - Il "diavoletto" di Cartesio (riassunto di fluidostatica).
Si tratta di un divertente esperimento in cui vengono coinvolte le tre leggi fondamentali della fluidodinamica :
la legge di Pascal, la legge di Archimede e la legge di Stevino.
Consideriamo un recipiente (una bottiglia, per esempio) pieno d'acqua fino a circa un centimetro dall'orlo
che è separato dall'esterno da una membrana di gomma. Fra la superficie dell'acqua e la membrana vi
è dell'aria a pressione normale (uguale a quella esterna atmosferica).
Immerso nell'acqua vi è un corpo leggero (per esempio di plastica dura), trasparente, allungato e chiuso,
zavorrato in fondo e riempito in parte d'aria ed in parte di acqua. Il corpo presenta in un certo punto un
piccolo foro che fa comunicare l'acqua al suo interno con l'acqua del recipiente (naturalmente alla stessa
pressione).
Il corpo immerso (il "diavoletto", perché in origine era un piccolo oggetto a forma appunto di diavoletto
vuoto all'interno e con il foro nella punta della "coda") è in equilibrio statico (a causa della spinta di
Archimede) ed in posizione verticale (a causa della zavorra). La spinta di Archimede eguaglia (in intensità)
il peso del diavoletto (dato dalla somma del peso dell'involucro, della zavorra e dell'acqua al suo interno
(il peso dell'aria al suo interno è trascurabile)) :
Ora premiamo sulla membrana. La pressione esercitata in questo modo viene comunicata per la legge
di Pascal al liquido contenuto nel recipiente nello stesso modo in tutti i suoi punti.
Questo aumento di pressione compare quindi anche sulla superficie esterna del diavoletto e, in
corrispondenza al foro, la pressione dell'acqua esterna diventa maggiore della pressione dell'acqua
interna al diavoletto. Di conseguenza un certa quantità d'acqua entra nel diavoletto comprimendo
l'aria in esso contenuta e facendo quindi aumentare la pressione che quest'aria esercita sull'acqua
all'interno.
Quando la pressione all'interno del diavoletto diventa uguale alla pressione esterna, l'acqua cessa
di entrare. La quantità d'acqua entrata dipende dalla pressione esercitata sulla membrana. Questa
pressione può essere regolata in modo da far entrare una quantità d'acqua sufficiente a rendere il
peso del diavoletto superiore a quello dell'acqua spostata. Per la legge di Archimede il diavoletto
affonderà.
Diminuendo la pressione sulla membrana, la pressione esterna sul foro del diavoletto diminuisce e
questa volta è la pressione interna ad essere maggiore. L'aria compressa si dilata facendo uscire
dell'acqua finché le due pressioni ritornano uguali. Il diavoletto si alleggerisce e, se esce una quantità
sufficiente d'acqua, finisce per pesare meno dell'acqua spostata. Per la legge di Archimede il diavoletto
ritorna a galla.
Se si esercita sulla membrana una pressione tale da far entrare la quantità d'acqua necessaria a
rendere il peso del diavoletto uguale a quello dell'acqua spostata, il diavoletto non sale e non scende,
rimanendo in equilibrio a qualunque profondità.
Se il recipiente dove si trova il diavoletto è abbastanza alto da permettere la discesa fino ad una profondità
maggiore, il diavoletto non risale più in superficie. Il motivo è il seguente: per la legge di Stevino, la pressione
dovuta al peso del liquido contenuto nel recipiente aumenta con la profondità e nuova acqua entra nel
diavoletto durante la discesa. Quando si toglie la pressione sulla membrana, esce l'acqua che era entrata
grazie a questa pressione, ma non quella che era entrata grazie alla profondità raggiunta dal diavoletto.
Quest'ultima può essere sufficiente a rendere il peso del diavoletto maggiore del peso dell'acqua spostata
ed in questo caso il diavoletto non può più risalire.
I sommergibili "funzionano" in questo modo (naturalmente l'acqua viene fatta entrare ed uscire tramite
potenti motori) per cui si può dire che il diavoletto di Cartesio sia stato il primo sommergibile della
storia.
Fine.