E' una delle leggi fisiche più "popolari" e l'immagine di Archimede che, uscendo dal bagno, esclama
"eureka !!" fa parte del "bagaglio aneddotico" comune.
Molto probabilmente Archimede intuì questa legge (o principio) senza ricavarne una dimostrazione
che invece fu possibile molti secoli più tardi grazie alle scoperte di Stevino.
La legge di Archimede è quindi un teorema dimostrabile a partire da leggi più generali e questo lo
vedremo nel paragrafo successivo.
La legge di Archimede è la seguente :
un corpo immerso in un liquido riceve una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del
liquido spostato.
Immaginiamo di immergere un cubo di volume pari ad 1 dm³ costituito da legno di pioppo. Supponiamo
che tale cubo pesi 5 N (si ricava questo valore dalle tabelle dei pesi specifici). Su questo cubo di
legno agisce perciò la forza peso p = 5 N . Immergiamolo ora nell'acqua. Secondo la legge di
Archimede, il cubo, se venisse totalmente immerso nel liquido, riceverebbe una spinta dal basso F
pari a 10 N circa (infatti 1 dm³ di acqua pesa un chilogrammo, quindi circa 10 N ).
(abbiamo posto in prospettiva solo il cubo e non il recipiente).
Essendo tale spinta maggiore del peso del cubo, esso in effetti tende a galleggiare e lo fa posizionandosi
a metà del pelo dell'acqua (in questa posizione, infatti, solo 0,5 dm³ di legno sono immersi per cui ricevono
una spinta pari a metà della precedente, ovvero 5 N , che "neutralizza" la forza peso) :
Immergiamo ora un cubo di 1 dm³ di ferro. Esso pesa circa 78 N e, come nel caso precedente. riceve
la stessa spinta di Archimede, pari a 10 N . In questo caso il corpo affonda :
(vettori non in scala).
Sulla legge di Archimede si basa la tecnologia navale e sommergibilistica.
Un sommergibile, evidentemente, deve pesare un po' meno del peso dell'acqua contenuta nel suo volume.
Per affondare esso deve incamerare acqua (pesando il sommergibile così di più della spinta di Archimede),
per emergere deve espellere acqua lasciando al suo posto l'aria (pesando il sommergibile di conseguenza di
meno della spinta di Archimede).
02 - La legge di Archimede come teorema.
La legge di Archimede è dimostrabile matematicamente a partire dalla legge di Stevino. La legge di
Archimede è quindi un teorema.
Per mostrare questo, immergiamo un cubo di una sostanza qualsiasi per esempio in acqua. Sulle sei
facce del cubo agiscono, a causa della pressione con cui l'acqua spinge su di esse, sei forze :
Se invece di un corpo solido a forma di cubo prendessimo un corpo solido di qualsiasi altra forma, i
risultati che otterremmo sarebbero i medesimi. Prendiamo in considerazione il cubo solo per semplicità
di calcolo.
Non prendiamo inoltre in considerazione la pressione atmosferica che preme sulla superficie dell'acqua
perché essa agisce (per la legge di Pascal) in maniera uguale su tutti i punti della superficie del cubo e
quindi il suo effetto sulle sei superficie del cubo è nullo.
Le forze che agiscono sulle quattro facce laterali sono ovviamente uguali in intensità (le face laterali sono
tutte alla stessa profondità) e opposte in verso a due a due. Esse quindi si annullano. Sul cubo agiscono
in definitiva solo le due forze relative alle due facce orizzontali :
Naturalmente si ha :
perché la faccia su cui agisce la forza
è ad una profondità maggiore della faccia su cui agisce la
forza
.
Applichiamo ora la legge di Stevino alle due facce in questione supponendo che esse si trovino alla
profondità
e 
ed
abbiano superficie S :
Ricordando che la forza che agisce su di una superficie è uguale al prodotto fra la pressione e la superficie
stessa, grazie alla legge di Stevino possiamo scrivere :
dove
e 
sono le
pressioni con cui l'acqua agisce sulle due superfici in questione,
d è la densità
dell'acqua e g è l'accelerazione di gravità.
La forza
effettivamente agente sul cubo sarà :
dove abbiamo raccolto il termine dgS .
La differenza fra le due profondità, che chiamiamo
, rappresenta l'altezza del cubo. Per questo
motivo, il prodotto S·h è il volume del cubo (chiamiamolo V ).
Possiamo allora scrivere :
e, siccome dV rappresenta la massa m dell'acqua ipoteticamente contenuta nel volume V del cubo,
avremo :
F = mg
ovvero, per il secondo principio di Newton :
F = peso dell'acqua spostata .
Ecco così dimostrata la legge di Archimede che per questo diventa teorema.
03 - La legge di Archimede vale anche per i gas.
La legge di Archimede vale anche per i gas, cioè per i fluidi in generale. Un corpo immerso in un gas,
per esempio l'aria, riceve quindi una ben precisa spinta di Archimede, anche se piccola. Per una persona
tale spinta è di pochi grammi, quindi trascurabile, ma se il corpo in questione ha un piccolo peso, come
per esempio un pallone pieno di un gas più leggero dell'aria (idrogeno, elio ecc.), esso salirà perché la
forza di Archimede in questo caso supera il peso del corpo.
L'azione comune di pesare qualcosa con una bilancia deve, a causa della legge di Archimede, essere
quindi ben compresa e precisata. Una bilancia a molla (dinamometro), per esempio, se immersa nell'aria,
non misura in verità la forza gravitazionale con cui la Terra attira a sé un corpo (il "vero" peso di quel corpo),
ma la differenza fra il suddetto "vero" peso e la spinta (verso l'alto) di Archimede. Per le bilance a stadera,
poi, le cose sono ancora più complicate. Se il volume dell'oggetto da pesare è uguale al volume del peso
campione, il "disturbo" della forza di Archimede è nullo. Diversamente, occorre tenere presente la differenza
dei volumi.
Per compiere una pesata precisa occorre quindi effettuarla nel vuoto (assenza di aria).
Lasciamo al lettore volenteroso l'interessante meditazione sulla domanda "d'effetto" :
pesa più un chilo di ferro od un chilo di paglia ?
04 - Esempi di parabola.
Proponiamo altri esempi di parabola :
- 1 -
Confrontando questa equazione con quella della generica parabola
,
si deduce che
. Le coordinate del vertice valgono in
generale
, dove 
significa "sostituire il valore dell'ascissa del
vertice nella x e fare i calcoli corrispondenti".
Avremo perciò
.
L'ordinata all'origine della parabola è
.
Il grafico della parabola sarà allora :
- 2 -
In questo caso abbiamo
. Poiché il parametro a è negativo, la parabola
è rivolta verso il basso. L'ordinata all'origine è c = 0 per cui la parabola passa per l'origine.
Il vertice è
.
Il grafico della parabola è allora :
- 3 -
In questo caso abbiamo
per cui il vertice è
e di conseguenza il
grafico risulta :
Si noti che la parabola passa per i punti (2 , 0) e (-2 , 0) in quanto sostituendo nella x sia
2 che -2 il risultato è 0 .
Fine.