Abbiamo visto in precedenza che l'equazione di una parabola generica con asse verticale (e vertice
in un punto qualunque del piano) rispetto al sistema di riferimento
ha equazione :
.
La medesima parabola, se riferita al sistema di riferimento
, ha equazione :
.
Si noti che la stessa curva ha due differenti equazioni rispetto a due sistemi di riferimento diversi.
Ricordiamo anche le equazioni della traslazione di assi cartesiani :
e :
che legano le coordinate di un punto rispetto al sistema
con quelle del medesimo punto rispetto
al sistema
e
viceversa.
L'equazione della parabola generica :
può essere ulteriormente semplificata. Svolgendo il quadrato del binomio al secondo membro abbiamo :
.Eseguendo la moltiplicazione al secondo membro otteniamo (distribuendo rispetto alla somma) :
.Ora semplifichiamo ed isoliamo la y a sinistra dell'uguale portando il termine
a destra : 
.L'equazione che abbiano ottenuto presenta una certa "regolarità". Ha la y al primo grado a sinistra
mentre a destra abbiamo un polinomio di secondo grado in x (che, per criteri di "ordine" ed
"eleganza", scriviamo a partire dal grado massimo).
Se poniamo :
l'equazione è ulteriormente semplificabile e diventa :
.
Questa è l'equazione generale della generica parabola con asse verticale ed origine in un punto
qualunque del piano.
Ora esprimiamo le coordinate del vertice V della parabola in funzione dei parametri a, b, c della
medesima. Come si vede bene dal grafico cartesiano, le coordinate del vertice rispetto al sistema
sono :
.
Ricaviamo allora
dalla relazione 
scritta sopra. Risulta ovviamente :
.
Ricaviamo d dalla relazione
. Otteniamo :
che sostituiamo nella precedente ricavando :
da cui :
.
Abbiamo così trovato l'espressione dell'ascissa del vertice V della parabola in funzione dei soli
parametri della medesima.
Possiamo allora scrivere che il vertice V ha coordinate :
dove per il momento lasciamo indicata coi i puntini l'ordinata.
Supponiamo ora di conoscere l'equazione di una certa parabola e di volerne individuare il vertice.
Sia data, per esempio, la parabola di equazione :
.
Il vertice risulta allora :
per cui, non conoscendone ancora l'ordinata, possiamo affermare che esso si trova in un punto
qualsiasi della retta verticale (l'asse della parabola) di equazione
:
Come fare per trovare l'ordinata del vertice e così "fissarlo" sul piano cartesiano ? Siccome il vertice
V è un punto appartenente alla parabola, le sue coordinate devono soddisfare l'equazione della
stessa. Questo significa che per trovare l'ordinata del vertice basta sostituire alla x dell'equazione
della parabola l'ascissa precedentemente trovata. Avremo quindi :
e quindi potremo scrivere :
per cui il vertice V è perfettamente individuato sul piano cartesiano :
Una volta individuato il vertice, per disegnare completamente la parabola, dovremo fare altre semplici
considerazioni che vedremo prossimamente.
02 - Esercizio sulle definizioni di unità di misura di pressione.
Vogliamo trovare a quanti pascal ( Pa ,
)
corrisponde una atmosfera tecnica ( 
,
ovvero chilogrammo peso / centimetro al quadrato).
Siccome la forza vale :
F = m · a ,
tenendo presente che :
e che :
,possiamo scrivere :
.
Abbiamo quindi trovato che una atmosfera tecnica corrisponde a 98000 pascal . Si noti che una
atmosfera tecnica è abbastanza diversa dalla pressione atmosferica (mediamente 101300 Pa ) che
è detta anche atmosfera fisica.
03 - Legge di Pascal.
Consideriamo un recipiente contenente un liquido (per esempio dell'acqua) dotato di un pistone ben
aderente alla superficie interna del contenitore ed a contatto con il liquido. Supponiamo che sul pistone
agisca una certa forza :
Supponiamo di praticare dei fori nel recipiente (e nel pistone stesso). Ovviamente, se si aumenta la
forza che agisce suo pistone, il liquido fuoriesce con maggior "intensità" dal recipiente.
L'esperienza mostra quindi che la pressione è aumentata non solo sulla superficie a contatto con il
pistone, ma anche in corrispondenza dei fori. L'aumento di pressione è lo stesso in tutti i punti del
liquido e corrisponde a quello esercitato dal pistone.
Il fenomeno è descritto dalla legge di Pascal :
"la pressione esercitata sulla superficie di un liquido si trasmette inalterata su tutte le superfici a
contatto con il liquido".
La legge di Pascal vale anche per i gas e può essere enunciata in un modo più generale:
"la pressione esercitata sulla superficie di un fluido si trasmette inalterata su tutte le superfici a
contatto con il fluido".
Chiariamo meglio quanto asserito con l'esempio del torchio idraulico.
Consideriamo il recipiente mostrato in sezione in cui è contenuto un liquido (di solito olio) ed in cui sono
presenti due pistoni di superficie diversa :
Sia
la
superficie del primo pistone e 
quella del secondo. Sul primo pistone venga esercitata
(dall'alto in basso) una forza
. A causa di questa forza, il secondo pistone risente della forza 
(dal basso in alto).
Applichiamo la legge di Pascal. Secondo questa legge la pressione si esercita in maniera uguale su tutte
le superficie a contatto con il liquido. Per questo motivo, la pressione che esercita il primo pistone e che
vale :
è la stessa esercitata (dal basso verso l'alto) sul secondo pistone :
.
Da queste formule siamo in grado di ricavare la forza incognita
che vale (confrontando le due
formule) :
.
Consideriamo il caso concreto in cui si abbia :
(usiamo qui per comodità i centimetri).
Sostituendo nella formula precedente risulta infine :
.
Questo risultato può essere compreso in maniera intuitiva con la seguente osservazione.
La pressione su
vale :
.
Siccome questa pressione si trasmette inalterata sulla superficie
, avremo che su ogni centimetro
quadrato di
compare una forza
F = 2N . Poiché 
, la forza complessiva su
sarà :
.
Abbiamo ricavato il sorprendente risultato che con una piccola forza
si ottiene una grande
forza
.
La legge di Pascal può quindi essere sfruttata nelle applicazioni di ingegneria per sollevare con piccoli
sforzi grandi pesi. Innumerevoli sono i congegni che sfruttano questo principio. Fra i tanti : il crick idraulico,
i freni delle auto, presse ed elevatori ecc. ecc.
Da quanto mostrato (la possibilità di ricavare grandi forze con piccoli sforzi) sembrerebbe che si possa
guadagnare energia. Purtroppo, le cose non stanno così ed il principio di conservazione dell'energia
non viene violato.
Si dimostra facilmente che il lavoro fatto dalla forza
è uguale al lavoro fatto dalla forza
. E'
sufficiente osservare che, con lo spostamento in basso di
, una parte di liquido passa dal cilindro
di sezione
a quello di sezione
, provocando uno spostamento in alto di
. Indichiamo con 
lo spostamento di
e con 
lo spostamento di
. Il volume del liquido spostato è dato da
ed è naturalmente uguale a
. 
Supponiamo che
si abbassi con uno spostamento 
. Utilizzando i dati del problema si ha:
da cui si ottiene :
.
Si ricava che, se
è mille volte maggiore di
, sarà mille volte minore di
. Calcolando il
lavoro fatto da
e da si ha :
e :
.
Otteniamo cioè che con una piccola forza ed un grande spostamento otteniamo una grande forza ma
un piccolo spostamento. In questo modo l'energia è conservata (a parte quella dissipata a causa
degli attriti).
Fine.