Continuiamo l'argomento della ricerca dell'equazione della parabola il cui grafico è :
Come abbiamo già visto, i punti della parabola sono tali per cui si ha :
ovvero, esplicitando le coordinate x ed y di P :
.
Questa espressione rappresenta l'equazione della parabola, cioè l'espressione che è soddisfatta
dalle coordinate dei soli punti della parabola. In altre parole, la parabola è formata dai soli punti
le cui coordinate x ed y , sostituite nella precedente formula, la soddisfano, ovvero fanno sì
che il primo membro sia uguale al secondo. Gli altri punti del piano che non stanno sulla parabola
hanno coordinate x e y che, sostituite nell'equazione della parabola, fanno sì che il primo membro
non sia uguale al secondo.
Procediamo ora ad una semplificazione algebrica che ci permette di scrivere la precedente equazione
in una forma più semplice.
Eleviamo al quadrato entrambi i membri :
.
Il quadrato di una radice quadrata dà il radicando (es.
) per cui la radice viene eliminata :
.
Nella formula così ottenuta compaiono due quadrati di binomi. Il quadrato di un binomio può essere
calcolato velocemente utilizzando le formule :
di cui la prima può essere giustificata geometricamente nel seguente modo considerando un quadrato
di lato a + b :
da cui si deduce immediatamente la presenza del "doppio prodotto" 2ab (nella seconda formula, invece,
è presente il segno meno nel doppio prodotto per ovvi motivi).
Applicando le formule del quadrato del binomio all'equazione della parabola al punto in cui l'abbiamo
lasciata, otteniamo :
.
I termini
e 
, essendo
presenti in entrambi i membri, possono essere eliminati per cui si ha :
da cui, portando i termini in y da una stessa parte, si ottiene :
ovvero :
cioè, ribaltando l'eguaglianza :
.
Siamo ora in grado di ricavare la y semplicemente dividendo ambo i membri per 4d ottenendo
infine :
.
Come si vede bene, abbiamo ricavato una equazione molto semplice caratterizzata dal fatto che la x
è presente al quadrato.
Questa è l'equazione di una parabola che ha vertice nell'origine ed asse verticale (coincidente
con l'asse delle y ) :
Ribadiamo il concetto che l'equazione appena trovata
corrisponde ad una parabola
con le caratteristiche sopra dichiarate :
vertice nell'origine ed asse verticale.
Le parabole che non possiedono queste caratteristiche hanno un'equazione diversa, più complicata
(vedi più avanti).
Facciamo ora alcune considerazioni sul parametro d che rappresenta l'ordinata del fuoco F . Siamo
partiti definendolo positivo ed abbiamo di conseguenza disegnato la direttrice e la parabola :
Cosa succede se facciamo crescere d ? Il fuoco F si "alza" , la direttrice si "abbassa" e di conseguenza
(come si vede bene dal grafico) la parabola si "allarga" :
Quando d tende all'infinito, la parabola tende a diventare la retta y = 0 (asse delle x ) :
Quando invece d cala (sempre con valori positivi) e tende a 0 , il fuoco si avvicina sempre di più al
vertice 0 così come la direttrice. La parabola, in questo caso, si "stringe" sempre più fino a diventare
la semiretta x = 0 con
:
Cosa succede se, infine, il parametro d assume valori negativi ? La situazione si "ribalta" letteralmente :
Questo risultato è molto importante e porta alla seguente considerazione :
se il parametro d , ovvero il coefficiente della
nell'equazione della parabola, è positivo,
la parabola è rivolta verso l'alto.
se il parametro d , ovvero il coefficiente della
nell'equazione della parabola, è negativo,
la parabola è rivolta verso il basso.
Graficamente :
Sottolineiamo il fatto che nell'equazione della parabola
, se d > 0 , il coefficiente 
di
è
positivo mentre se d < 0 , il coefficiente di
è negativo.
Affrontiamo infine il problema della determinazione dell'equazione della parabola generica del piano
che abbia vertice non necessariamente nell'origine 0 degli assi ed asse verticale (parallelo all'asse
delle y ). Una siffatta parabola è per esempio la seguente :
Per ricavare l'equazione di una tale generica parabola conviene considerare anche il sistema di assi
cartesiani che ha vertice in V (vertice della parabola) ed asse delle ordinate coincidente con l'asse
della parabola. Indicheremo con
il vertice di questo nuovo sistema di assi (coincidente con V ),
con
l' asse delle ascisse di questo nuovo sistema di riferimento e con 
l'asse delle ordinate :
I due sistemi di assi cartesiani
e 
si
dicono traslati uno rispetto all'altro e la trasformazione
per passare da uno all'altro, traslazione.
Scriviamo ora le formule matematiche della traslazione, le formule cioè che legano i due sistemi di
assi cartesiani. Per fare questo supponiamo che le coordinate del nuovo vertice
rispetto al vecchio
sistema di assi
siano 
, cioè
graficamente :
In questo modo, un punto P della parabola che ha coordinate
rispetto al nuovo sistema di
riferimento e
rispetto al vecchio :
è tale per cui le suddette coordinate sono legate dalle relazioni :
e :
che sono dette equazioni della traslazione.
Circa la parabola, noi possiamo dire che la sua equazione è ben nota rispetto al nuovo sistema
e
vale :
.
D'altra parte conosciamo come le variabili
e si
possono esprimere in funzione delle variabili
x e y . Sostituendo otteniamo allora :
.
Questa è l'equazione della parabola generica con asse verticale rispetto al sistema di coordinante
cartesiane
.
Essa può essere ovviamente semplificata e ridotta in una forma più consona
che
ricaveremo la prossima volta. Il lettore curioso e volenteroso può svolgere i semplici calcoli e vedere
cosa si ricava ...
02 - Pressione.
La forza è una grandezza fisica caratterizzata dal fatto di essere in grado di modificare lo stato di moto
di un corpo o di modificarne la struttura interna.
Supponiamo che una forza agisca su un corpo e soffermiamoci sull'effetto di deformazione che essa
produce sul corpo. Tale effetto non dipende solo dalla forza ma anche dalla superficie su cui la forza
agisce.
Supponiamo che una persona di peso pari a 700 N stia in piedi su della neve fresca. Se la persona
calza un normale paio di scarpe è molto probabile che egli sprofondi nella neve (deformandola). Se
invece egli indossa un paio di sci o di racchette da neve, molto probabilmente egli non sprofonderà
più nella neve (o almeno lo farà in modo molto minore).
Cosa è cambiato nei due casi ? Il peso della persona (quindi la forza che agisce sulla neve) è rimasto
pressoché invariato mente a variare è stata la base di appoggio sulla neve. L'effetto di sprofondamento
dipende allora oltre che dalla forza anche dalla superficie su cui la forza agisce.
Introduciamo allora una nuova grandezza che esprime l'attitudine che ha una forza a deformare un
corpo. Questa nuova grandezza fisica è la pressione e gioca un ruolo fondamentale nei fenomeni
fisici in cui una o più forze agiscono su corpi tendendo a deformarli. Questa nuova grandezza fisica
ci permette di iniziare lo studio dell'importante parte della fisica che si occupa dei fluidi (liquidi e
gassosi) relativamente alle forze su di essi esercitate (forze che si manifestano tramite le pressioni
che esse producono).
Se su un fluido agiscono delle forze e se quel fluido è in stato di equilibrio, esso sarà descritto dalla
branca della fisica detta statica dei fluidi (fluidostatica) con le sue interessanti leggi. Considerando
che l'acqua e l'aria con cui abbiamo a che fare tutti i giorni sono fluidi, è facile rendersi conto della
grande importanza della fluidostatica.
Diamo ora una definizione rigorosa di pressione.
Consideriamo una forza
(la forza è un vettore) che agisce su di una superficie di area 
ricordando che in generale tale forza non è detto che sia perpendicolare alla superficie :
La forza
può essere scomposta con la regola del parallelogrammo nelle sue
componenti
parallela e perpendicolare (normale) in modo che :
.
Graficamente :
Il motivo per cui operiamo questa scomposizione è semplice. La componente della forza che
effettivamente agisce sulla superficie è la componente perpendicolare
, mentre
la
componente parallela
non agisce sulla superficie (essa produce un inefficace effetto di
"slittamento").
Orbene, la pressione è definita come il rapporto fra l'intensità della componente perpendicolare
della forza e l'area della superficie. Quindi :
.
Si noti la caratteristica scalare (grandezza priva di direzione e verso) della pressione. Prendendo in
considerazione l'intensità
(che è uno scalare e che quindi si scrive senza la freccia) del vettore
ed essendo
anche l'area S uno scalare, la pressione non può che essere
uno scalare.
L'unità di misura della pressione nel sistema internazionale ( S.I. ) è :
(le parentesi quadre indicano l'unità di misura di una grandezza fisica).
Un pascal corrisponde quindi alla pressione generata da una forza di 1 N applicata perpendicolarmente
sulla superficie di 1 m² e si indica con la sigla Pa .
Poiché il newton è una forza abbastanza piccola (circa il peso di un ettogrammo) ed un metro quadrato
è un'area abbastanza grande, il pascal è una una pressione piuttosto debole rispetto alle pressioni con
cui abbiamo a che fare tutti i giorni (per esempio la pressione atmosferica al livello del mare è mediamente
101300 Pa ). Per questo motivo si usano i multipli del pascal .
Accanto al pascal sono ancora qualche volta in uso (anche se non appartenenti al sistema internazionale)
unità di misura obsolete che però è interessante conoscere sia per "curiosità storica" che per "convenienza
pratica".
Per chiarire il quadro apparentemente complesso delle unità di misura di pressione consideriamo il
seguente schema :
L' ettopascal ( hPa ) equivale a 100 pascal. Il chilopascal ( kPa ) a 1000 pascal ed il megapascal
( MPa ) ad 1000000 di pascal.
Il bar è il multiplo del pascal usato correntemente nella pratica (pressione nelle bombole, nelle caldaie,
nei pneumatici, ecc.) perché, essendo uguale a 100000 Pa , corrisponde approssimativamente alla
pressione atmosferica (in media, sul livello del mare pari a 101300 Pa ). Il millibar , usato un tempo
per le previsioni meteorologiche, quindi, corrisponde ad un ettopascal .
Oggi, per le suddette previsioni, si utilizza l' ettopascal in quanto gli ordinari strumenti per misurare
la pressione atmosferica (barometri) riescono a misurare appunto fino all'ettopascal.
Un'altra unità di misura di pressione usata in medicina è il cosiddetto torr ovvero il millimetro di
mercurio ( 1 torr = 1 mmHg , essendo Hg il simbolo chimico del mercurio).
Esistono altri modi di misurare la pressione non più in uso. Fra questi l'atmosfera tecnica pari a
(un chilogrammo
forza su centimetro quadrato) utilizzato nelle applicazioni di ingegneria.
Fine.