Risolviamo il problema scegliendo un sistema di riferimento inerziale (per esempio il sistema
delle stelle fisse). Riferire il moto dei corpi a sistemi di riferimento inerziali è sempre conveniente
perché se li riferiamo a sistemi di riferimento non inerziali (per esempio ruotanti come la superficie
della terra) occorre introdurre, perché continuino a valere le 3 leggi della dinamica, le cosiddette
forze apparenti con il risultato di "complicare" in generale la risoluzione dei problemi ad essi connessi.
Il satellite S ruota attorno alla Terra compiendo un'orbita circolare di raggio R rispetto al centro
della medesima. Poiché il satellite è geostazionario (cioè "visto" immobile nel cielo rispetto ad un
osservatore sulla superficie terrestre), il tempo T impiegato da esso a compiere un giro completo
deve essere pari ad un giorno ( 24 ore).
Rispetto al sistema di riferimento inerziale delle stelle fisse, il satellite S , poiché non si muove di moto
rettilineo uniforme ma si muove di moto circolare uniforme, è soggetto ad una forza centripeta che
lo mantiene sulla sua traiettoria circolare (ricordiamo che, per il principio d'inerzia, un corpo su cui
non agiscono forze o su cui la risultante delle forze è nulla permane, rispetto ad un sistema di riferimento
inerziale, nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché una forza esterna non interviene a
modificarne lo stato di moto).
Chiamiamo con
la forza centripeta che costringe il satellite a compiere una traiettoria
circolare.
Da cosa è prodotta fisicamente la forza centripeta
? Essa coincide con la forza di attrazione
gravitazionale
con cui la Terra attira a sé il satellite.
Noi conosciamo già le formule che esprimono le intensità delle suddette forze. Esse sono :
e 
dove m è la massa del satellite, v è la sua velocità periferica, G è la costante di gravitazione
universale e M è la massa della Terra.
Dovendo le due forze coincidere, potremo scrivere :
ovvero :
.
Vediamo ora di semplificare l'equazione in modo da ricavare il valore di R
Dividendo entrambi i membri per m si ottiene :
.
D'altra parte la velocità periferica v del satellite é
.
Sostituendo tale velocità nella formula precedente otteniamo :
che si semplifica in :
ed in :
.
Moltiplichiamo ora ambo i membri per
:
e semplifichiamo :
.
Moltiplichiamo ambo i membri per
:
e semplifichiamo :
.
Abbiamo così trovato una semplice equazione di terzo grado nell'incognita R . Per risolverla basta
estrarre le radici cubiche di entrambi i membri :
da cui si ottiene :
che rappresenta la soluzione del problema.
Si noti il fatto molto importante che la distanza R con cui ruota un satellite geostazionario non dipende
dalla massa del medesimo. Questo significa che tutti i satelliti geostazionari, indipendentemente dalla
loro massa, ruotano alla stessa distanza da terra.
Sostituendo i dati numerici abbiamo :
dove abbiamo posto
.
Si noti che in questi calcoli usiamo, come sempre, le proprietà delle potenze preferendo le potenze
di 10 (per la loro comodità di utilizzo). Si noti anche che le unità di misura delle varie grandezze in
gioco sono, come sempre, espresse nel Sistema Internazionale (S.I.).
A conti fatti (approssimando), otteniamo il risultato :
.
Per conoscere l'effettiva "quota" h a cui è posto il satellite geostazionario, basta sottrarre da R la
misura r del raggio terrestre, cioè :
h = R - r .
Otteniamo quindi :
che corrisponde ad una quota di circa 36.000 km .
02 - Parabola.
La parabola è una curva molto importante e dalle molteplici proprietà. Essa era conosciuta dai
Greci (Apollonio ed Archimede II e III secolo a.C.). Apollonio per primo, in un famoso trattato,
scoprì che la parabola fa parte di una classe più generale di curve : le coniche.
Le coniche si ottengono intersecando la superficie di un cono con un piano. Dal modo con cui si
sceglie il piano, si ottengono i vari tipi di coniche (fra cui la parabole). Diamo qui una semplice
e sintetica illustrazione grafica dei vari tipi di coniche, partendo da un cono generico di cui è
indicata anche la "nomenclatura" relativa :
Come risulta evidente dai grafici, il caso della parabola si ottiene quando il piano che taglia il cono è
parallelo ad una generatrice del cono.
La parabola, come dicevamo sopra, gode di importanti proprietà. Una di queste, per esempio, è
utilizzata nella tecnologia radiotelevisiva per costruire le cosiddette antenne paraboliche.
Ogni parabola possiede un punto particolare, detto fuoco, che ha la proprietà per cui ogni raggio
parallelo all'asse della parabola, "riflettendo" su essa, vi si congiunge :
In questo modo, le onde elettromagnetiche (anche la luce) riflettendo all'interno di un'antenna parabolica
vengono tutte concentrate nel fuoco della parabola in cui è posizionata la vera antenna (la parabola funge
da semplice riflettore-concentratore) che si tratta di solito di un tratto di filo conduttore.
Al contrario, se poniamo un sorgente di radiazione elettromagnetica (per esempio una lampadina) nel
fuoco di uno specchio parabolico otteniamo che i raggi diretti verso la superficie dello specchio vengono
riflessi paralleli all'asse.
Un'altra importante proprietà della parabola può essere usata per determinarne l'equazione nel
piano cartesiano.
In un sistema di assi cartesiani ortogonali 0xy consideriamo il punto
detto fuoco
e la retta di
equazione
detta direttrice, essendo d è un numero reale positivo ( 
) :
Orbene, una parabola è una curva i cui punti sono tali per cui le distanze fra essi ed il fuoco
eguagliano le rispettive distanze con la direttrice :
Avremo cioè :
AF = AH , A'F = A'H' , A''F = A''H'' ecc. ecc.
Naturalmente la curva che si ottiene non è una linea retta ed ha la proprietà di essere simmetrica
rispetto all'asse delle y . Inoltre il punto 0 , origine degli assi cartesiani, appartiene alla parabola e,
data la sua posizione (intersezione fra la parabola ed il suo asse), è detto vertice della parabola.
Consideriamo ora un punto generico
della parabola che, per quanto detto sopra, equidista
dal fuoco e dalla direttrice :
Per un tale punto P possiamo scrivere allora l'eguaglianza :
.
Scritto questo, siamo anche in grado di determinare le lunghezze dei due segmenti. Osservando il
grafico :
è facile rendersi conto che :
(per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo FPQ ) e :
.
Se uguagliamo i due segmenti otteniamo infine :
.
I punti P della parabola hanno coordinate x e y tali da soddisfare l'equazione appena scritta :
essa è allora l'equazione di una generica parabola con vertice nell'origine e asse
coincidente con l'asse delle y .
Tale equazione può essere semplificata e ridotta in una forma più semplice. Lasciamo, per il momento,
al lettore "curioso" lo sviluppo di questi calcoli di semplificazione.
Fine.