La cinematica studia il moto dei corpi senza prendere in considerazione le forze che agiscono sui
corpi stessi.
La dinamica, invece, studia il moto dei corpi in relazione alle forze che agiscono su di essi.
Fino ad oggi abbiamo considerato quasi sempre corpi in moto traslatorio.
Un corpo compie un moto traslatorio se tutti i suoi punti traslano, si spostano, di uno stesso
segmento in un dato tempo. Per esempio (in sezione) :
Consideriamo ora un corpo rigido (un corpo composto da particelle strettamente legate fra loro) e
supponiamo che esso sia vincolato a ruotare attorno ad un asse fisso. Un tale corpo si dice dotato
di moto rotatorio (in sezione) :
In generale, un moto qualunque è una combinazione di moto traslatorio e rotatorio e si chiama moto
roto-traslatorio.
In un moto rotatorio, le particelle poste sull'asse di rotazione stanno ferme (rispetto ad esso) mentre
le altre compiono delle circonferenza (in una rotazione completa) :
Per determinare la posizione di un punto di un corpo soggetto a moto rotatorio conviene usare un
sistema di riferimento diverso dall'usuale sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Nei moti rotatori
si utilizza di preferenza un sistema di riferimento polare.
Rispetto ad un tale sistema di riferimento, la posizione di un punto viene determinata dalla distanza
del punto dall'asse di rotazione e da un conveniente angolo. In questo modo la posizione di un
punto è completamente determinata.
Di solito, l'angolo viene preso in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle ascisse. Si ha
cioè :
Le coordinate polari del punto P sono allora
mentre le sue coordinate cartesiane sono,
come ben noto,
.
02 - Radianti.
Come si misurano gli angoli ? In vari modi fra i quali uno è quello preferito dai matematici e dai fisici :
la misura in radianti.
Consideriamo l'angolo
del precedente grafico e chiamiamo s la lunghezza dell'arco di
circonferenza
ad esso sotteso :
Ebbene, la misura in radianti dell'angolo
consiste nel rapporto fra la lunghezza dell'arco s e
la
misura del raggio R . Per cui :
.
Evidentemente, un angolo di 1 radiante (si scrive anche 1 rad ) è quell'angolo che sottende un arco
lungo quanto il raggio :
Quanto vale (in radianti) l'angolo giro ? Siccome l'arco sotteso ad un angolo giro è l'intera
circonferenza, che misura
, la misura dell'angolo giro è quindi :
.
E' fondamentale notare che la misura in radianti di un angolo è indipendente dall'arco che lo
sottende che noi scegliamo. Ciò è evidente guardando il seguente grafico dove abbiamo preso
due raggi di cui uno doppio dell'altro :
se raddoppia il raggio, di conseguenza raddoppia l'arco, per cui il rapporto, che è appunto la misura
dell'angolo in radianti, non cambia !!! Cioè :
.
Notiamo anche che il radiante, poiché è il rapporto fra due lunghezze, è una grandezza priva di dimensioni
fisiche. E' perciò un numero puro.
03 - Velocità angolare.
Consideriamo ora la velocità in un moto rotatorio. E' chiaro che i punti dell'asse di rotazione hanno
velocità nulla mentre, di mano in mano che ci si allontana da esso, i punti hanno velocità lineari
maggiori :
Le velocità lineari dei punti di un corpo in rotazione sono, quindi, diverse punto per punto.
Possiamo però affermare che in un moto rotatorio, in un dato tempo, tutti i punti compiono uno
stesso angolo. Possiamo quindi definire un "nuovo tipo" di velocità basata non più su le distanze
lineari percorse nel tempo, ma sugli angoli descritti nel tempo.
Definiamo quindi la velocità angolare, in analogia con la definizione di velocità lineare
,
come il rapporto fra l'angolo compiuto ed il tempo impiegato a compierlo. Abbiamo cioè, se
il moto rotatorio è uniforme :
.
Possiamo di conseguenza definire anche l'accelerazione angolare come il rapporto fra la variazione
di velocità angolare ed il tempo in cui la variazione avviene, allo stesso modo in cui abbiamo definito
l'accelerazione lineare come
. L'accelerazione angolare è quindi, nel caso di moto rotatorio
uniformemente accelerato :
.
04 - Serie.
Sia data la successione
che è come dire la "sequenza" di numeri 
. Con essa possiamo
costruire la seguente successione detta delle somme parziali :
La successione
(i puntini significano che si va all'infinito) così ottenuta si chiama serie e si
indica con il simbolo :
ed equivale alla somma di tutti i termini della successione
da cui siamo partiti, ovvero :
(sottolineiamo ancora che si tratta di una somma di infiniti termini !!!).
Il problema è adesso quello di vedere se una data serie converge, diverge od oscilla, cioè se la
somma
tende ad
un valore ben preciso, oppure tende a 
(diverge positivamente) o a
(diverge
negativamente), oppure ha un andamento "ambiguo".
Studiare il comportamento di una serie è in generale un problema molto complesso e non ci addentreremo
in esso. Diciamo solo che vi è un certo numero di serie la cui somma è nota ed alcuni teoremi che possono
aiutarci. In ogni caso ci si può avvalere dell'aiuto del computer e calcolare il valore approssimato della somma
di una data serie, fermandoci ad un valore anche molto grande di n .
Per questo possiamo usare il programma disponibile in questo sito alla pagina :
http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Serie/serie.htm .
Possiamo anche affermare che l'importanza delle serie nella scienza è fondamentale. Le serie entrano
in ogni capitolo della matematica e della fisica ed esse forniscono addirittura metodi generali per
approssimare una enorme quantità di problemi non analiticamente (esattamente) risolubili.
05 - Serie notevoli.
Riportiamo ora alcune serie di fondamentale importanza la cui somma è nota (senza riportare le
dimostrazioni del calcolo delle suddette somme).
- 1 - Serie armonica
la serie armonica diverge positivamente per cui scriveremo :
.
- 2 - Serie
questa serie converge (non riportiamo il valore esatto della somma, ma lo indichiamo con
S ) per cui :
.
- 3 - Serie geometrica
di
ragione q
la serie geometrica converge, diverge od oscilla a seconda del valore della ragione q .
Abbiamo i seguenti casi :
- se
( |q|
è il valore assoluto di q ) allora la serie converge a 
- se
allora la
serie diverge positivamente
- se
allora la serie oscilla.
Per esempio, se
, abbiamo :
perché se
cadiamo nel primo caso, secondo il quale :
.
Possiamo "vedere geometricamente" questo risultato nel seguente modo :
da cui risulta chiaro che sommando "fette" di valore dimezzato si ottiene al limite il
valore 1 .
06 - Due considerazioni importanti.
- 1 - Da quanto mostrato risulta chiaro che se i termini della serie tendono a zero (al tendere di
n all'infinito) si può avere convergenza o divergenza della serie. Per esempio le serie
e
hanno
entrambe termini tendenti a zero ma la prima serie diverge e la seconda
converge.
Se però avessimo termini non tendenti a zero, allora saremmo sicuri che la serie non
converge !!!
Per esempio, la serie geometrica di ragione q = 2 , diverge positivamente. Cioè :
.
- 2 - Le serie di cui si conosce la somma possono essere utilizzate per dimostrare se una serie
data converge o diverge. Per esempio, consideriamo la serie :
e chiediamoci se essa converge (non ci chiediamo quanto vale la somma, ma solo se essa
converge !!! Il calcolo della somma di una serie è un altro tipo di problema).
Proviamo a confrontare questa serie con la serie nota
che sappiamo convergere.
Siccome per ogni valore di n si ha :
possiamo dedurre che la serie incognita
converge perché formata da termini tutti
minori di quelli della serie nota
che è sicuramente convergente. Diremo allora che la
serie
è maggiorante
della serie
oppure che la serie
è minorante
della serie
.
Fine.