Un protone di massa
urta alla velocità 
un nucleo di elio. In seguito
all'urto, il protone rimbalza (tornando indietro sulla stessa direzione) con una velocità
(il segno - significa appunto che questa velocità ha un verso contrario rispetto a
che è presa positiva).
Sapendo che la velocità dopo l'urto del nucleo di elio è
, si calcoli la massa del nucleo
di elio. Si consideri il nucleo di elio immobile prima dell'urto.
Applicando la legge di conservazione della quantità di moto possiamo scrivere :
.
dove
è la
massa del nucleo di elio che dobbiamo trovare.
Sottraendo ad entrambi i membri dell'equazione lo stesso termine
, l'equazione non cambia.
Possiamo allora scrivere :
.
Nel secondo membro dell'equazione possiamo raccogliere il fattore comune
e quindi otteniamo :
.
Dividendo entrambi i membri dell'equazione per lo stesso termine
, l'equazione non cambia. Possiamo
allora scrivere :
.
Abbiamo così "isolato" l'incognita
dagli altri termini e possiamo infine calcolarla. Sostituendo i valori
noti abbiamo :
da cui, ricordando che " - per - dà + " :
e quindi, notando che
:
.
Applicando le regole delle potenze, perveniamo quindi al valore finale :
.
Si noti la "potenza" della legge di conservazione della quantità di moto. Senza conoscere il tipo di interazione,
ovvero le forze che intervengono nell'urto fra le due particelle, siamo stati in grado di calcolare la massa del
nucleo dell'elio !!!
02 - Quando la quantità di moto non si conserva. Impulso.
La legge di conservazione della quantità di moto vale per i sistemi isolati, cioè per i sistemi di corpi
che non interagiscono con l'esterno. Se su di un sistema agiscono delle forze esterne, esso cessa di essere
isolato e la sua quantità di moto non si conserva più, cioè essa varia col tempo.
Consideriamo il caso molto semplice di un corpo su cui agisce una forza costante. In questo caso, come
afferma il 2' principio della dinamica, la sua accelerazione risulta costante, cioè la sua velocità aumenta
uniformemente.
Scriviamo ancora una volta la formula matematica che esprime il 2' principio della dinamica :
e la esprimiamo in forma vettoriale perché la forza e l'accelerazione sono grandezze vettoriali .
Supponiamo allora che nel tempo
il corpo passi dalla velocità 
alla velocità 
a
causa dell'azione
della forza
. Per calcolare l'accelerazione costante, che corrisponde alla variazione costante di velocità nell'unità di tempo,
dividiamo la variazione complessiva di velocità per il tempo durante il quale la forza costante agisce. Otteniamo
perciò :
da cui ricaviamo :
,
ovvero :
.
A questo punto, moltiplicando ambo i membri per
, si ottiene :
.
Notiamo subito che
e 
sono le quantità
di moto del corpo al tempo finale ed al tempo iniziale
(rispettivamente).
Questa è una formula estremamente importante che esprime il fatto che la variazione della quantità di
moto di un corpo sotto l'azione di una forza costante è uguale al prodotto della forza per il tempo
durante il quale la forza agisce sul corpo.
Il prodotto della forza per il tempo si chiama impulso. Possiamo allora affermare che :
la variazione della quantità di moto è uguale all'impulso.
Questo è un altro modo di esprimere il 2' principio della dinamica (in effetti è la forma originaria con
cui Newton lo espresse, dato che ai suoi tempi si conosceva già la quantità di moto e la legge della sua
conservazione).
03 - Esempio di applicazione dell'impulso.
Consideriamo l'urto di un motociclista contro un muro. Spesso facciamo esempi così "drammatici"
perché, capendo questi fenomeni dal punto di vista fisico, possiamo così renderci meglio conto
"scientificamente" della necessità di una maggiore prudenza alla guida.
Supponendo che la massa del motociclista sia di 60 kg , la velocità con cui colpisce il muro 10 m/s
(soli 36 km/h !!!) ed il tempo in cui dura l'urto 0,2 s , calcoliamo la forza che agisce sul motociclista
in modo da fermarlo (forza esercitata dal muro).
Applicando la formula dell'impulso si ha (supponendo che il fenomeno avvenga nella stessa direzione così
da passare dai vettori agli scalari) :
per cui, sostituendo i numeri si ottiene :
(la velocità finale
è ovviamente nulla ed il segno - è perché la forza è opposta
alla velocità).
Considerando che 1 N corrisponde al peso di circa 0,1 kg , la forza trovata corrisponde a circa 300 kg .
Ci rendiamo allora conto di quanto grande sia questa forza anche se la velocità d'urto è così piccola !!!
Se il tempo in cui dura l'urto fosse maggiore, per esempio 1 s , troveremmo una forza minore, esattamente
pari a :
per cui il danno in questo caso sarebbe minore.
Per ottenere danni minori per i passeggeri, le automobili vengono costruite in modo che un eventuale urto
duri più tempo. Questo avviene, per esempio, se il muso dell'auto è sufficientemente "tenero" in modo da
contrarsi progressivamente durante l'urto.
04 - Successioni divergenti.
Consideriamo infine le successioni che tendono a
o a 
che sono anche dette divergenti, così
come quelle che tendono ad un numero sono dette convergenti.
Un esempio di tali successioni divergenti è la successione :
2n
dei numeri pari positivi :
2, 4, 6, ... .
Graficamente :
Si vede bene "intuitivamente" che essa tende a
(diverge positivamente) mentre la successione :
-2n
dei numeri pari negativi :
-2, -4, -6, ...
tende a
(diverge
negativamente).
In generale, data una successione
, si dice che essa tende a
(diverge positivamente) e si scrive :
se :
che si legge :
"per ogni M reale esiste un
naturale tale che
è maggiore di M per ogni n naturale maggiore
di
" (*)
Il significato di questa definizione è il seguente. Comunque si prenda un numero reale M , se esiste un
numero naturale
a
destra del quale tutti i valori della successione sono maggiore di M ciò
significa
che la successione tende a
.
Infatti, per un dato M (prendendo come esempio la successione precedente 2n ) si ha :
da cui si vede bene che il numero naturale
a destra del quale tutti i valori della successione sono
maggiori di M è 2 .
Se prendiamo un altro valore di M otteniamo per esempio :
per il quale si ha che
vale 4 . Per questa successione, prendendo qualunque M
reale, si può
sempre trovare un
a destra del quale essa ha valori maggiori di M . Deduciamo allora che
la
successione diverge positivamente.
Se la successione
tende a (diverge
negativamente) si scrive :
e ciò si verifica quando :
.
Si noti che in questa definizione è cambiato solo in verso della disequazione ( < M invece di > M ).
Il significato della definizione di successione divergente negativamente è analogo a quella di successione
divergente positivamente.
Fine.
(*) per la comprensione dei simboli matematici vedi pagina :
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Appendice/SignificatoDeiSimboli.htm