Invece di impostare il problema della determinazione della distanza da un punto ad una retta
in modo generale, così da ricavarne una formula da applicare ogni volta, riproponiamoci di
mostrarne la soluzione con un esempio particolare.
Siano dati sul piano cartesiano il punto
e la retta r di equazione 
.
Si trovi la distanza fra il punto P e la suddetta retta r .
La distanza dal punto P alla retta r è uguale alla lunghezza del segmento PH ottenuto tracciando
la retta s passante per P e perpendicolare alla retta r .
Il problema allora si riduce nel trovare il punto H perché, una volta conosciute le coordinate di H ,
siamo in grado di calcolare la lunghezza del segmento PH utilizzando il teorema di Pitagora
applicandolo al triangolo rettangolo PHK indicato in figura :
Per individuare il punto H basta fare l'intersezione fra la retta data r e la retta s perpendicolare
ad essa passante per P .
Della retta r già conosciamo l'equazione. Come ricavare l'equazione della retta perpendicolare s ?
Per fare questo partiamo dall'equazione della generica retta t passante per P :
che, essendo la formula della retta passante per un punto
, sostituendo le
coordinate di P , risulta essere :
.
La generica retta t passante per P non è in generale perpendicolare alla retta data s . Perché
la retta r e la retta t siano perpendicolari occorre che il prodotto dei loro coefficienti angolari
sia -1 . Essendo il coefficiente angolare di r pari a 2 , il coefficiente angolare di s sarà allora
(la retta
generica t quando è perpendicolare alla retta r
coincide con la retta s ). Possiamo
allora affermare che l'equazione della retta s è :
.
Per determinare le coordinate del punto H basta fare il sistema fra l'equazione della retta r e
l'equazione della retta s . Dovremo cioè risolvere il sistema :
.
Per fare questo basta sostituire semplicemente l'espressione corrispondente alla y della prima
equazione nella y della seconda.
Avremo quindi :
che rappresenta una equazione di primo grado in x risolta la quale otterremo l'ascissa del punto H .
Per risolvere l'equazione apportiamo le seguenti semplificazioni :
(abbiamo sommato ad ambo i membri 2 )
(abbiamo sommato ad ambo i membri 
)
(abbiamo moltiplicato ambo i membri per 2 )
(abbiamo diviso ambo i membri per 5 )
.
Questo valore della x rappresenta l'ascissa del punto H . Per trovare l'ordinata y basta sostituire
questo valore per esempio nella prima equazione del sistema. Avremo perciò :
ovvero :
.
Le coordinate di H sono quindi :
.
Abbiamo ora tutti i dati per potere calcolare la lunghezza del segmento PH che rappresenta la
distanza del punto P dalla retta r .
Consideriamo per questo il triangolo rettangolo PHK (rettangolo in K ) :
Il teorema di Pitagora afferma che :
per cui, estraendo la radice quadrata, si ottiene :
.
Siccome
e 
,
sostituendo, possiamo scrivere :
.
Eseguendo semplici calcoli otteniamo infine :
.
La distanza fra il punto P e la retta r è quindi :
.
02 - Esercizio di fisica per casa.
Calcolare a quale distanza dalla Terra si devono trovare i satelliti geostazionari.
I dati del problema sono :
costante di gravitazione universale :
massa della Terra :
raggio della Terra :
.
Fine.