Consideriamo due rette distinte sul piano cartesiano. Esse, se non sono parallele, si incontrano
in un punto, detto punto di intersezione. Proponiamoci di trovare le coordinate di quel punto a
partire dalle equazioni delle due rette.
Per fare questo utilizziamo una delle proprietà fondamentali dell'analisi matematica :
un punto sta su una curva se e solo se le sue coordinate soddisfano l'equazione
della curva.
Il principio qui esposto è valido per una curva qualunque. Nel nostro caso abbiamo due rette di
equazione :
e :
che si incontrano nel punto P :
Le coordinate del punto P dovranno allora soddisfare entrambe le equazioni delle rette.
Questo significa che le coordinate
del punto P , sostituite
nelle equazioni
e
, devono far sì che le uguaglianze siano verificate.
Altri punti del piano, se
sostituiti nelle due equazioni, non le soddisfano contemporaneamente.
Quanto affermato si esprime matematicamente col fare il sistema fra le due equazioni :
.
Fare il sistema fra due equazioni in due incognite (la x e la y ) significa, in generale, trovare le
coppie di numeri
che soddisfano entrambe le equazioni. Nel nostro caso si tratta di un
sistema di primo grado (in quanto le incognite x ed y sono elevate all'esponente 1 , anche
se esso non viene scritto) per cui la soluzione
, se c'è, è una sola.
Per risolvere questo sistema di primo grado si procede in maniera molto semplice. Basta uguagliare
le y , ovvero le due espressioni contenti la x . Fatto questo, di ottiene una equazione nella sola x ,
risolta la quale si trova il valore della medesima. Per ottenere la y basta sostituire il valore della x
precedentemente trovato in una delle due equazioni che formano il sistema e fare i calcoli.
Mostriamo tutto questo con un esempio.
Siano date nel piano cartesiano le due rette :
e :
.
I loro grafici sono :
Per trovare le coordinate del punto di intersezione P basta risolvere il sistema :
.
Per fare questo uguagliamo le y :
ottenendo così una semplice equazione di primo grado nella sola incognita x .
Portiamo ora i termini in x a sinistra dell'uguale ed i termini noti a destra. Per fare questo sommiamo
ad ambo i membri il temine 3x ed il numero 1 :
da cui, semplificando, si ottiene :
.
Per ricavare la x basta dividere ambo i membri per 5 ottenendo così :
.
Abbiamo in questo modo ricavato la x , cioè l'ascissa del punto di intersezione P .
Per ricavare l'ordinata y basta sostituire il valore appena trovato in una delle due equazioni, per
esempio la prima. Abbiamo allora :
.
Le coordinate del punto P sono allora :
.
Si noti che questo risultato è coerente con il grafico disegnato sopra. E' sempre conveniente
verificare i risultati ottenuti matematicamente con i grafici disegnati. Ciò costituisce una verifica
empirica ma efficace. Se avessimo ottenuto risultati non corrispondenti al grafico, potremmo
affermare con sicurezza che o abbiamo commesso errori nel procedimento matematico o
errori nel disegnare il grafico e quindi regolarci di conseguenza.
02 - Esercizio riassuntivo sulle rette (per casa).
Come esercizio conclusivo dell'argomento rette, proponiamo il seguente.
Siano dati sul piano cartesiano il punto
e la retta
. Si trovi la distanza fra il
punto P e la suddetta retta.
03 - Soluzione dell'esercizio di fisica per casa del 3/12/2004.
Calcoliamo la velocità "teorica" con cui il paracadutista toccherebbe terra se non vi fosse la
resistenza dell'aria.
Poiché, a causa dell'assenza di attriti, tutta l'energia potenziale che il paracadutista ha alla quota
h (si suppone che al momento del lancio la sua velocità sia nulla) si trasforma nell'energia cinetica
che esso avrà al momento di toccare terra (a terra l'energia potenziale è nulla) possiamo scrivere :
cioè :
.
Da questa formula si ricava direttamente v . Per fare questo operiamo le solite semplificazioni
dividendo ambo i membri per m , moltiplicando per 2 ed estraendo la radice quadrata. Otteniamo
allora :
.
Sostituendo i dati numerici abbiamo :
che trasformata in km/h diventa :
.
Si tratta di una velocità considerevole che non permetterebbe la possibilità di alcun lancio !! L'effetto
dell'aria, invece, dissipa (assorbe) gran parte dell'energia meccanica del paracadutista permettendogli
di toccare terra con una velocità "accettabile".
Consideriamo ora la caduta "reale" del paracadutista in presenza della resistenza dell'aria.
L'energia meccanica iniziale del paracadutista alla quota h è pari alla sua energia potenziale
gravitazionale (essendo la sua velocità iniziale nulla) :
.
L'energia meccanica finale, al momento in cui tocca terra (dato che la velocità è nota), è :
.
Il paracadutista aveva alla quota h l'energia meccanica di 1568000 J . Giunto a terra egli ha solo
360 J . E' evidente che, per il principio di conservazione dell'energia in tutte le sue forme, la
differenza fra le due energie si è trasformata in un'altra forma di energia non meccanica. La
differenza di energia la ritroviamo trasformata in calore trasmesso alle molecole dell'aria.
Possiamo per questo immaginare che la forza di attrito (resistenza) dell'aria che si oppone alla
caduta del paracadutista ha compiuto, durante la caduta, il lavoro :
.
Possiamo anche calcolare la forza di attrito media (come se agisse in maniera costante, anche
se sappiamo che la forza di attrito dipende da vari fattori ed in particolare dalla velocità del corpo
che cade per cui essa non è certamente costante). Siccome in generale il lavoro è
,
avremo :
da cui, sostituendo i valori numerici, otteniamo :
che rappresenta appunto la forza di attrito media con cui l'aria si oppone al moto.
Si noti che questa forza è circa pari al peso del paracadutista che vale :
.
Questo dipende dal fatto che, a causa dell'attrito dell'aria, dopo poco tempo dal lancio, il paracadutista
procede di moto rettilineo uniforme perché la forza peso è appunto neutralizzata dalla forza di attrito
dell'aria. Per gran parte del moto, quindi, la forza di attrito è uguale (in intensità) alla forza peso del
paracadutista.
04 - Esercizio di ripasso di meccanica.
Consideriamo la dinamica del giro della morte (trascurando gli attriti).
Un motociclista esegue il giro della morte in modo che, nel punto più alto della traiettoria circolare
che egli compie, la forza centrifuga a cui è soggetto sia esattamente uguale (come intensità, perché
i versi sono opposti) al suo peso (sommato a quello della motocicletta) (d'ora in poi, per esigenze
di fluidità di scrittura, dicendo "motociclista" consideriamo anche la sua moto, ovvero intenderemo
il sistema motociclista + motocicletta) (per comodità grafica abbiamo indicato il sistema motociclista +
motocicletta con un tondino nero).
Questa condizione (uguaglianza in intensità fra forza centrifuga e forza peso) fa sì che nel punto
A il motociclista tocchi appena la traiettoria. Questa condizione è necessaria per semplificare i
calcoli che dovremo fare. Nella realtà, la forza centrifuga in A potrebbe benissimo superare in
intensità la forza peso, mentre non dovrebbe mai esserne inferiore, pena la caduta del motociclista.
Abbiamo detto che trascuriamo gli attriti per cui possiamo considerare in via teorica che il sistema
sia già a "regime", ovvero che il motociclista percorra a motore spento ed indefinitamente la traiettoria.
In realtà il motore acceso della motocicletta fornisce continuamente l'energia perduta a causa degli
attriti facendo sì che il motociclista non si stacchi dalla traiettoria e precipiti a terra.
Nel punto A si deve perciò avere :
dove
indica l'intensità della forza centrifuga in A e p il
peso del motociclista la cui massa
sia m .
Ricordando che la forza centrifuga vale
( v è la velocità e R è il raggio del cerchio)
scriveremo allora :
dove
è
la velocità del motociclista in A , ovvero, dividendo ambo i membri
per m e
moltiplicando per R :
.
Questa formula esprime la velocità al quadrato del motociclista in A in situazione di equilibrio
di forze.
Consideriamo ora il bilancio energetico (trascurando gli attriti).
In B l'energia potenziale gravitazionale del motociclista è nulla mentre in A la sua energia meccanica
si compone come al solito nella somma fra energia cinetica ed energia potenziale. Avremo allora :
ovvero :
dove 2R è la quota del punto A .
Moltiplicando ambo i membri per 2 otteniamo :
.
Raccogliendo m al secondo membro abbiamo :
da cui, dividendo ambo i membri per m , ricaviamo :
.
Questa formula ci fornisce il valore della velocità al quadrato del motociclista in B .
D'altra parte, in B la forza centrifuga a cui è soggetto il motociclista è :
per cui, sostituendo il valore di
precedentemente trovato, otteniamo :
da cui, sostituendo il valore di
trovato all'inizio, ricaviamo :
.
La formula appena trovata esprime il fatto che il motociclista in B è soggetto ad una forza
centrifuga pari al quintuplo del proprio peso ( mg ) !!!
Sommando in B a questa forza centrifuga anche la forza peso del motociclista (rivolta nello
stesso verso) otteniamo lo "sbalorditivo" risultato che il motociclista in B è soggetto ad una
forza complessiva pari al sestuplo del suo peso :
.
Fine.