Consideriamo due rette parallele sul piano cartesiano. Le loro equazioni siano :
e :
ed i loro grafici siano :
Perché queste due rette siano parallele occorre che abbiano la stessa pendenza e quindi lo stesso
coefficiente angolare :
Scriveremo allora che, se due rette sono parallele, vale la semplice uguaglianza :
.
Questa affermazione vale anche all'incontrario. Se vale la relazione su scritta, allora le rette sono
parallele.
Se le rette fossero verticali, esse non sarebbero rappresentate da equazioni del tipo
,
ma da equazioni del tipo :
dove k è un numero reale qualunque. Graficamente :
( k e k' sono due numeri qualunque)
In questo caso è ovvio che le rette sono sempre parallele.
Esempi di rette parallele :
e 
,
e 
.
Come ulteriore esempio, consideriamo il punto
e la retta r di equazione 
. Si
trovi la retta passante per il punto P e parallela alla retta r .
La generica retta passante per P ha equazione :
(abbiamo utilizzato la nota formula
della retta generica passante per un
punto).
Perché questa retta sia parallela alla retta data r essa deve avere il suo stesso coefficiente angolare,
cioè deve essere :
.
Avremo quindi :
che è l'equazione della retta cercata (lasciamo al lettore la semplificazione della formula).
Graficamente :
02 - Rette perpendicolari.
Il caso di rette perpendicolari è molto importante ed anche esso porta ad una semplice relazione
fra i coefficienti angolari.
Fra tutte le rette perpendicolari del piano cartesiano :
ne consideriamo due , r ed s (perpendicolari fra loro), che si incontrano nel centro degli assi 0 . Le
considerazioni che faremo su queste due rette perpendicolari particolari e la formula che ricaveremo
sono estendibili a qualsiasi altra coppia di rette perpendicolari del piano cartesiano. Per comodità
consideriamo anche una circonferenza anch'essa con centro in 0 e di raggio qualsiasi :
Consideriamo ora le proiezioni ortogonali delle intersezioni delle due rette con la circonferenza come
indicato in figura :
Da grafico si vede bene che i punti P e Q hanno rispettivamente le coordinate
e 
.
Le equazioni delle due rette r ed s saranno allora :
per r
ed :
per s
essendo i due coefficienti angolari rispettivamente
e 
e le ordinate
all'origine entrambe nulle
(le rette passano per il centro 0 ).
Osservando i due coefficienti angolari notiamo che il loro prodotto è sempre uguale a -1 :
qualunque siano i valori di a e b .
Abbiamo allora trovato la regola a cui soddisfano i coefficienti angolari di due rette perpendicolari :
essi, moltiplicati fra loro, devono dare come risultato il numero -1 .
Due rette generiche del piano,
e ,
quindi, sono perpendicolari se e solo
se vale la relazione :
.
(l'allocuzione "se e solo se" significa che l'affermazione è valida nei due sensi, cioè, se le rette
sono perpendicolari allora vale la relazione, viceversa, se vale la relazione allora le rette sono
perpendicolari).
Nel caso in cui una delle due rette sia verticale, allora una sua perpendicolare è sicuramente
orizzontale. Nel primo caso, l'equazione della retta è
nel secondo caso è 
:
dove k e k' sono numeri reali qualsiasi.
Esempi di rette perpendicolari sono :
e 
e 
e 
.
03 - Procedimento esatto circa l'esercizio per casa di fisica del 12/11/2004.
Il problema della valutazione della profondità di una voragine gettandoci dentro un sasso e misurando
il tempo in cui il suono perviene al nostro orecchio (dal momento in cui esso viene lasciato cadere),
nel solo caso in cui si trascurano l'attrito con l'aria ed il tempo di reazione dell'osservatore (che misura
il tempo con un cronometro), la volta scorsa è stato risolto con un procedimento approssimato.
Vediamo ora come il problema andrebbe risolto in modo esatto.
Il tempo in questione, da quando il sasso viene lasciato cadere al momento in cui il suono dell'impatto
col terreno ci perviene, sia t = 4 s .
Questo tempo si compone di due parti. Il tempo
, da quando il sasso è lasciato cadere a quando
esso effettivamente tocca il terreno, e dal tempo
, corrispondente al tempo impiegato dal suono a
pervenire all'orecchio dell'osservatore dal momento dell'impatto del sasso sul fondo. Possiamo allora
scrivere :
.
Ricaviamo ora i due tempi.
Per il tempo
:
Siccome il sasso cade di moto rettilineo uniformemente accelerato (trascuriamo
l'attrito con l'aria) possiamo scrivere :
da cui, moltiplicando ambo i membri per 2 , dividendo per g e invertendo l'uguaglianza, si
ricava :
da cui, estraendo la radice quadrata in ambo i membri, si ottiene :
.
Per il tempo
:
Siccome il suono procede dal fondo della voragine di moto uniforme, possiamo scrivere :
quindi (essendo la velocità del suono nell'aria circa 340 m/s ) avremo :
da cui si ottiene :
(abbiamo diviso ambo i membri per 340 , moltiplicato per
ed invertito l'uguaglianza).
Siamo ora in grado si sostituire le due espressioni di
e
così trovate nell'equazione
ottenendo :
.
Questa è una equazione nell'incognita h (essendo g nota, pari a circa 9,8 m/s² ) non di primo grado e
quindi più complessa da risolvere.
Omettiamo qui la soluzione ribadendo che qui ci interessava solo illustrare il procedimento esatto
con cui risolvere il problema. Quando avremo studiato le equazioni di secondo grado, saremo in
grado di risolvere esattamente l'equazione.
(la soluzione approssimata dell'equazione, eseguita al computer, fornisce il valore
)
04 - Correzione esercizio di fisica per casa del 26/11/2004.
L'energia meccanica in A è :
.
L'energia meccanica in B è :
(essendo in B la quota nulla non vi è energia potenziale).
Trascurando gli attriti, per il principio di conservazione dell'energia meccanica, avremo :
cioè, sostituendo :
.
Da questa formula siamo in grado di ricavare
. Per fare questo operiamo alcune semplificazioni.
Moltiplicando ambo i membri per 2 e semplificando, abbiamo :
.
Raccogliendo m nel secondo membro otteniamo :
.
Dividendo ambo i membri per m abbiamo :
.
Da questa formula possiamo ricavare
estraendo la radice quadrata da ambo i membri :
da cui, sostituendo i valori numerici di
, 
e
, otteniamo :
.
Vediamo ora se il carrello (sempre trascurando gli attriti) riesce a raggiungere C .
Consideriamo che il carrello, dopo avere oltrepassato il punto B , raggiunga la quota h con velocità
nulla (perdendo cioè tutta la sua energia cinetica a scapito di quella potenziale) (si noti che, al momento,
non sappiamo se h sarà maggiore della quota di C !!). Potremo allora scrivere :
(essendo la velocità alla quota h nulla e di conseguenza l'energia potenziale alla quota h uguale
all'energia cinetica in B ) (trascurando sempre gli attriti).
Dalla formula appena scritta, dividendo ambo i membri per m otteniamo :
e quindi, dividendo ambo i membri per g :
.
Sostituendo i valori numerici e facendo i calcoli otteniamo infine :
.
Da questo risultato appare chiaro che il carrello non riesce a raggiungere il punto C che si trova alla
quota di 30 m :
05 - Esercizio sulla conservazione dell'energia totale (per casa).
Consideriamo un paracadutista di massa m = 80 kg che si lancia da un'altezza h di 2000 m e che
tocca terra alla velocità di v = 3 m/s :
Si chiede a che velocità il paracadutista toccherebbe terra in assenza di aria. Dato poi per scontato che,
in presenza di aria, egli tocca terra con una velocità inferiore a quella in assenza di aria, si chiede inoltre
quanta energia meccanica si è perduta (perché trasformata in energia termica assorbita delle molecole
dell'aria), il lavoro totale fatto dalle forze resistenti (attrito con l'aria) ed il valore medio della forza d'attrito
(dell'aria).
Fine.