Gettando un sasso dentro una voragine siamo in grado di stimarne la profondità misurando il tempo
dall'istante in cui lasciamo cadere il sasso all'istante in cui sentiamo il rumore del sasso che tocca il
fondo.
Questo tempo sia di t = 4 s .
Occorre subito dire che la valutazione della profondità della voragine con questo metodo non è
così semplice come potrebbe sembrare. Entrano difatti in gioco alcuni "particolari" che complicano
la stima. I più importanti di essi sono :
- 1 - la resistenza dell'aria : essa, se presa in considerazione nel calcolo della legge oraria
del moto del sasso, lo complica notevolmente
- 2 - il tempo di reazione dell'osservatore : il tempo cronometrato è sempre maggiore di
quello effettivo
- 3 - la velocità del suono : noi udiamo il tonfo del sasso un certo tempo dopo l'esatto istante
in cui esso ha toccato il fondo perché il suono ha una velocità non infinita
Tutti e tre questi fenomeni fanno sì che la stima della profondità fatta ignorandoli sia per eccesso.
Valutiamo ora la soluzione teorica in assenza di questi "errori".
Il sasso è soggetto alla forza peso costante
la cui intensità è 
per cui esso cade di
moto rettilineo uniformemente accelerato.
L'equazione oraria di tale moto è :
.
Per comodità ci poniamo nella situazione in cui lo spazio iniziale e la velocità iniziale sono nulli
(semplicemente facendo scattare il cronometro quando lasciamo cadere il sasso senza dotarlo
di una velocità iniziale e misurando lo spazio verso il fondo della voragine dal punto in cui il
sasso è lasciato cadere).
Avremo quindi più semplicemente :
.
Sostituendo i valori numerici otteniamo :
(abbiamo chiamato h lo spazio percorso).
Valutiamo ora la soluzione reale considerando solo l'errore dovuto alla velocità del suono
( 340 m/s ). Per fare questo facciamo un ragionamento approssimato ma di semplice "traduzione"
matematica.
Consideriamo che il suono, dal fondo della voragine di profondità pari al valore teorico precedentemente
calcolato, per pervenire all'orecchio dell'osservatore ci mette un tempo pari a :
(
= tempo suono). Dobbiamo allora togliere dai 4 secondi complessivi questo tempo per trovare
il tempo effettivo che sarà :
(
= tempo effettivo).
A questo punto si rifà il calcolo della caduta con questo nuovo tempo e si ottiene :
.
Questo metodo di stima è solo approssimato !!! Lasciamo al lettore volenteroso il calcolo esatto
della stima ...
Questo problema ci dà anche un'idea in quello che è effettivamente il lavoro del fisico : valutare tutti i
fenomeni in gioco e quantificarne l'importanza rispetto ad una eventuale soluzione teorica semplicistica.
02 - Caduta in aria dalla stessa altezza di due sfere uguali ma di materiale diverso.
Un corpo di massa qualunque e forma qualunque cade nel campo gravitazionale terrestre ed in
assenza di aria con la stessa accelerazione g . Più corpi di massa e forma diverse cadono allo stesso
modo, per cui, se lasciati cadere ad un certo istante dalla stessa altezza, essi toccano terra allo
stesso istante (in assenza di aria).
Prima :
Dopo :
Il moto che essi seguono è un moto rettilineo uniformemente accelerato di equazione oraria :
.
In presenza di aria la situazione cambia notevolmente. Il corpo è soggetto a più forze che agiscono
su di esso contemporaneamente :
- la forza peso
che è diretta verso
il basso
- la forza di Archimede (un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al
peso del fluido spostato) che è rivolta verso l'alto e che vale
= costante (il peso
dell'aria spostata dipende dal volume del corpo e quindi, considerando il corpo rigido,
esso non cambia). Questa forza è molto importante se il corpo è leggero. Un palloncino
riempito di elio, per esempio non cade a terra, ma sale in alto !!!
- la forza di attrito con l'aria (detta anche forza di resistenza del mezzo) che è rivolta verso
l'alto ed è approssimativamente proporzionale al quadrato della velocità del corpo. Essa vale
- altre forze che dipendono dal fatto che il pianeta terra è un sistema ruotante per cui non è
un sistema di riferimento inerziale. Tali forze apparenti noi le trascureremo per esigenze di
semplicità anche se esse sono importanti (Galileo stesso le prese in considerazione nei suoi
esperimenti di caduta dei gravi)
Riassumiamo in un grafico la situazione all'istante in cui il corpo inizia a cadere (la forza di attrito è in
quell'istante nulla) :
(abbiamo posto le forze agenti separate per comodità).
Durante la caduta del corpo, la forza peso e la forza di Archimede rimangono costanti mentre la
forza di attrito cresce al crescere della velocità del corpo :
Osservando i due grafici si nota che la forza risultante che agisce sul corpo e che ne determina
l'accelerazione diminuisce durante la caduta. Ci sarà allora un certo istante in cui la forza risultante
diventa nulla. Da quell'istante in poi il corpo si muoverà di moto rettilineo uniforme !!! Lo sanno
bene i paracadutisti ...
Cosa succede se confrontiamo le cadute di due corpi sferici di ugual raggio ma di massa diversa
(per esempio uno di ferro e l'altro di legno) ?
Per il corpo più leggero si raggiungerà prima l'annullamento della forza risultante per cui esso toccherà
terra più tardi e con minore velocità.
Riportiamo di seguito una simulazione al computer (ottenuta con tecniche di calcolo numerico) della
caduta di corpi sferici di ugual raggio di massa 1 kg e 2 kg . Si tratta dei grafici orari tempo-spazio
dei moti nei due casi (i corpi cadono da un'altezza di 50 m ) :
Si noti che dopo un certo tempo i grafici diventano rettilinei, cioè le velocità diventano costanti come
affermato sopra.
03 - Esercizio sulla conservazione dell'energia meccanica (per casa).
Consideriamo il presente problema tipico della "tecnologia" delle montagne russe :
Un carrello si trova in A con velocità
. L'altezza dal suolo di A è 
. Con
quale velocità
esso raggiungerà il punto B ? La seconda quota è 
. Riuscirà il carrello
a raggiungere C ? Se lo raggiungerà, che velocità avrà ? Se non lo raggiungerà, a quale altezza
esso arriverà ? Si considerino trascurabili gli attriti di ogni tipo. (la massa del carrello è m ).
Suggerimento :
- l'energia meccanica totale in A è :
- l'energia meccanica totale in B è :
- l'energia meccanica totale in C sarebbe :
04 - Esercizi sulle rette per un punto e per due punti.
- 1 - sia dato sul piano cartesiano il punto
. Trovare l'equazione della generica retta
passante per esso.
Partendo dalla formula generale di una retta passante per un punto :
e sostituendo le coordinate di P otteniamo :
che, eseguita la moltiplicazione, diventa :
ovvero, sommando ambo i membri per -2 :
.
Questa è l'equazione cercata. Essa esprime tutte le rette che passano per P eccetto,
come ben sappiamo, la retta verticale x = -1 che va considerata a parte (vedi più
avanti).
Prendiamo ora fra queste infinite rette quella che ha coefficiente angolare uguale ad 1 .
Siccome il coefficiente angolare della generica retta trovata sopra è m , la sua equazione,
sostituendo m = 1 , sarà :
con il suo grafico :
Prendiamo ora fra le infinite rette passanti per P quella con ordinata all'origine uguale a 2 .
Siccome l'ordinata all'origine della generica retta trovata sopra è p = m - 2 , scriveremo :
m - 2 = 2
da cui troviamo m = 4 . Sostituendo nell'equazione della retta generica che passa per P
avremo :
ovvero :
il cui grafico è :.
Infine si trovino la retta orizzontale passante per P e quella verticale (sempre passante per P ).
Le loro equazioni sono rispettivamente y = -2 ed x = -1 ed i loro grafici sono :
- 2 - trovare la retta passante per i punti
e 
.
L'equazione della retta che passa per due punti è :
.
Sostituendo in essa le coordinate di P e Q si trova direttamente :
cioè :
che si riduce, moltiplicando ambo i membri per -3 , a :
da cui si ricava (sommando 2 ad ambo i membri) :
.
Questa è l'equazione della retta cercata ed il suo grafico è :
Fine.