Dati due punti distinti dello spazio (ed in particolare del piano) per essi passa una sola retta.
Questa è una nota ed importante affermazione della geometria euclidea. Proponiamoci di trovane
l'equazione di questa retta.
Siano dati allora i punti
e 
del
piano cartesiano :
e sia r la retta (unica) passante per essi :
Per trovare l'equazione della retta r si può procedere nel seguente modo :
- 1 - si prende l'equazione della retta generica che passa per P :
e che vale :
.
- 2 - si obbliga tale retta a passare anche per Q . Per fare questo basta imporre che le
coordinate di Q soddisfino l'equazione della retta scritta sopra. Basta cioè che sia :
(abbiamo utilizzato il fondamentale principio, estendibile a qualunque tipo di curva,
secondo il quale un punto sta su di una retta se le sue coordinante soddisfano
l'equazione della retta) .
- 3 - si ricava il coefficiente angolare m ottenendo :
(per fare questo abbiamo diviso ambo i membri dell'uguaglianza per
).
- 4 - si sostituisce il valore di m così trovato nell'equazione
ottenendo :
.
- 5 - per scrivere la formula in un modo più consono si dividono ambo i membri per
prevenendo così alla formula :
.
Questa è l'equazione cercata : l'equazione della retta passante per due punti.
Essa, come è giusto che sia essendo la retta da essa rappresentata unica, non contiene nessun
parametro indeterminato (altra lettera che rappresenta un numero che può variare), ma è
funzione delle sole coordinate dei punti P e Q , punti che sono dati a priori come conosciuti.
Si noti la simmetria e l' "eleganza" di questa formula che converrà imparare a memoria (data la sua
semplicità) perché la useremo moltissime volte così come useremo continuamente l'equazione della
retta generica e quella della retta passante per un punto.
Riassumendo, l'equazione della retta generica del piano (escludendo le rette verticali) è :
,
l'equazione della retta generica passante per il punto
è :
,
l'equazione della retta passante per i due punti
e 
è :
.
Come esempio di applicazione di quest'ultima formula ci riferiamo ad un problema molto comune
di fisica (specificatamente di cinematica).
02 - Esempio di retta passante per due punti in fisica.
Consideriamo un corpo in moto rettilineo uniforme. Supponiamo che al tempo t = 1 il corpo
si trovi nello spazio s = 2 e poi al tempo t = 3 si trovi nello spazio s = 7 (i tempi siano misurati
come al solito in secondi e gli spazi in metri). Graficamente :
Possiamo riportare questi dati in un diagramma tempo-spazio :
Siccome il diagramma orario di un moto rettilineo uniforme è una retta (essendo la velocità del corpo,
ovvero la pendenza del diagramma orario, costante in ogni punto) e siccome questa retta deve passare
per i punti A e B :
potremo scrivere (avendo sostituito (nella formula di riferimento della retta per due punti) s al posto
di y e t al posto di x ) :
e, sostituendo i valori numerici :
.
Facendo i calcoli si ottiene :
.
Moltiplichiamo ora ambo i membri per 5 e per 2 :
e semplifichiamo :
.
Dividiamo ambo i membri per 2 :
e semplifichiamo :
.
Sommiamo 2 ad entrambi i membri :
e semplifichiamo :
.
Moltiplichiamo, distribuendo, a destra dell'uguale :
e semplifichiamo :
.
Questa è l'equazione della retta e ridotta ai minimi termini.
Come verifica del risultato trovato notiamo che il coefficiente angolare è
e l'ordinata
all'origine
è
e
questo corrisponde abbastanza bene col grafico (l'imprecisione sull'ordinata
all'origine
dipende dal fatto che il grafico è stato disegnato a mano libera) :
03 - Energia potenziale gravitazionale.
L'energia potenziale gravitazionale è l'energia che un corpo possiede per il semplice motivo di
essere in una certa posizione all'interno di un campo gravitazionale.
Nel caso illustrato dalla figura abbiamo un corpo di massa m ad un'altezza pari ad h da terra (o
rispetto ad un qualsiasi altro piano di riferimento parallelo alla superficie terrestre). Il corpo, in quanto
immerso nel campo gravitazionale terrestre, è soggetto alla forza peso
.Se il corpo viene lasciato cadere, come abbiamo già visto, esso acquisterà, quando sarà in procinto
di toccare terra, una energia cinetica pari al lavoro che la forza peso compie nel tragitto lungo h .
E' per questo motivo che diciamo che il corpo possiede una energia potenziale gravitazionale, proprio
perché il corpo (ovvero la forza peso applicata su di lui) è in grado di compiere un lavoro grazie al
fatto di essere posizionato ad una certa altezza da terra (o da qualsiasi piano di riferimento).
Determiniamo ora il valore dell'energia potenziale gravitazionale. Per fare questo consideriamo il lavoro
che si compie per portare il corpo dal suolo alla quota h rispetto a terra. Questo lavoro compiuto sarà
esattamente uguale all'energia potenziale che il corpo avrà alla quota h .
Per fare questo applichiamo sul corpo a terra una forza
rivolta verso l'alto lievemente maggiore
del peso del corpo :
In questo modo, essendo la risultante fra le due forze diversa da zero e rivolta verso l'alto, il corpo
comincerà a salire. Subito dopo che il corpo comincia la sua ascesa, rendiamo la forza
esattamente
pari (in intensità) alla forza peso. Così, essendo nulla la risultante delle forze, il corpo salirà di moto
rettilineo uniforme (con velocità costante, anche se piccola). Poco prima di arrivare alla quota h ,
diminuiamo l'intensità della forza
in modo da far sì che la risultante diventi lievemente rivolta
verso il basso. In questo modo il corpo comincerà a decelerare finché, giunto alla quota h , esso
sarà del tutto fermo.
Che lavoro ha compiuto la forza
?
Considerando che le lievi differenze che essa ha avuto in intensità
rispetto alla forza peso (all'inizio del percorso ed alla fine) si neutralizzano a vicenda, tale lavoro sarà :
.
Essendo la forza peso (per il secondo principio della dinamica) :
(dove g è l'accelerazione di gravità) avremo :
.
Questa semplice formula ci dà il lavoro fatto per portare un corpo di massa m alla quota h in presenza
del campo gravitazionale terrestre.
Questo lavoro sarà pari all'energia potenziale gravitazionale che il copro ha alla quota h . Scriveremo
allora :
dove con U si indica comunemente tale energia potenziale.
Questa energia potenziale è, ovviamente, uguale al lavoro fatto dalla forza peso quando il corpo cade
dalla quota h e raggiunge il terreno.
Si noti infine che l'energia potenziale gravitazionale (così come ogni altro tipo di energia potenziale) non
è una grandezza assoluta, bensì essa dipende dal piano di riferimento rispetto al quale si riferisce la
quota h . Cambiando piano di riferimento, l'energia potenziale gravitazionale cambia.
04 - Conservazione dell'energia meccanica.
Un corpo che cade da un'altezza h tocca il terreno con una energia cinetica (trascurando la resistenza
dell'aria) pari a :
.
Questa energia cinetica, come sappiamo, è uguale al lavoro fatto dalla forza peso :
.
D'altra parte, l'energia potenziale gravitazionale del corpo quando si trova alla quota h è :
.
Essendo l'energia potenziale uguale al lavoro fatto dalla forza peso e quindi all'energia cinetica
nel momento in cui il corpo tocca terra, possiamo affermare che tutta l'energia potenziale
si è trasformata in energia cinetica (in assenza di attriti).
Questo fatto è di enorme importanza e va sotto il nome di conservazione dell'energia meccanica.
Durante la caduta, il corpo perde la propria energia potenziale perché, quando esso raggiunge il
terreno, il valore della quota è nullo e quindi l'energia potenziale diventa nulla (
).
Dove finisce questa energia potenziale perduta ? Essa si è trasformata in energia cinetica.
Questo è vero quando il corpo non subisce attriti con l'aria. In presenza di resistenza dell'aria (e
questa resistenza non è mai del tutto eliminabile), il corpo tocca terra con una velocità minore e quindi
una energia cinetica minore (del valore dell'energia potenziale iniziale).
Dove ritroviamo questa differenza di energia ? Essa si trasforma in calore facendo aumentare (anche
se lievemente) la temperatura dell'aria. Inoltre, dal momento in cui il corpo tocca il terreno al momento
in cui esso è completamente fermo, l'energia cinetica si è trasformata tutta quanta in calore trasferito al
terreno e al corpo stesso.
Lo studio del calore non fa parte della meccanica per cui, per il momento, non prenderemo in
considerazioni gli attriti e le forze dissipative in genere. Ecco perché la legge di conservazione
dell'energia così come esposta sopra si dice meccanica.
04 - Calcolo della velocità finale di un corpo che cade.
La legge di conservazione dell'energia meccanica può essere utilizzata per calcolare direttamente
la velocità con cui un corpo, cadendo, tocca terra.
Essendo :
(energia cinetica finale = energia potenziale gravitazionale iniziale) possiamo scrivere :
(dove m , v , g , h hanno gli usuali significati).
Per ricavare v dividiamo ambo i membri per m e moltiplichiamo i medesimi per 2 :
.
Semplificando otteniamo :
e successivamente, estraendo la radice quadrata a destra ed a sinistra dell'uguale :
(la radice quadrata di un quadrato è la base della potenza stessa, cioè
).
La formula trovata dà la velocità del corpo all'istante dell'impatto col terreno (trascurando l'attrito
con l'aria).
Fine.