Consideriamo il punto Q del piano cartesiano le cui coordinate sono
e
chiediamoci quante rette passano per esso. La risposta è (ovviamente) : infinite.
Quale sarà allora l'equazione di una generica retta passante per il punto
?
Proponiamoci
di trovare una formula che valga per tutte le rette passanti per Q .
Partiamo dalla nota equazione di una qualsiasi retta del piano (con esclusione delle rette verticali) :
dove m è il coefficiente angolare e p l'ordinata all'origine della retta (le rette verticali, non
descritte dalla suddetta equazione, verranno trattate a parte).
Una tale retta del piano può passare o non dal punto Q :
Per esempio, le rette r ed s non passano per Q mentre la retta t vi passa.
Quand'è (algebricamente parlando) che una generica retta del piano
passa per il
punto
? La risposta è molto semplice e di fondamentale importanza :
una retta passa per un punto o, che è la stessa cosa, un punto giace su una retta, se
le coordinate di quel punto soddisfano l'equazione della retta (e viceversa).
L'importanza di questa affermazione è capitale perché essa è estendibile a qualunque tipo di
curva (non solo alle rette) per cui ritorneremo moltissime volte su questo concetto.
Sostituendo i valori
nell'equazione della retta generica
otteniamo allora :
.
D'altra parte, se il punto Q non stesse sulla retta, sostituendo nella equazione della retta x con
non potremmo ottenere
:
Nell'esempio grafico, sostituendo nella x dell'equazione della retta r il valore
otteniamo 
,
mentre per la retta s otteniamo
(che qui sono diversi da
).
Dalla relazione
trovata sopra imponendo il passaggio della retta generica per il
punto Q possiamo ricavare la p :
che possiamo poi sostituire nell'equazione
(poniamo 
al posto della p ) ottenendo :
.
Portando entrambe le y a sinistra dell'uguale si ottiene :
ed, infine, raccogliendo la m , si perviene a :
.
Questa è l'equazione cercata. Essa rappresenta l'equazione di una retta qualunque passante per il
punto
(con l'eccezione della retta verticale).
Che dire della (unica) retta verticale passante per Q ?
Essa avrà equazione :
.
Facciamo ora un esempio.
Consideriamo il punto
. L'equazione di una generica retta passante per Q sarà allora :
ovvero, semplificando l'espressione :
.
Graficamente :
dove abbiamo tracciato una retta a caso passante per Q .
Occorre sottolineare che nell'equazione
della generica retta passante per un
punto, oltre alle coordinate del punto stesso è presente il coefficiente angolare m della retta in
maniera non definita. Questo sta a significare che, fissato un punto, le rette che vi passano si
distinguono per la pendenza, ovvero per il coefficiente angolare (legato all'angolo che la retta
compie con l'asse delle x ).
02 - Verifica dell'esattezza dell'equazione di una retta passante per un dato punto.
L'equazione della retta generica passante per il punto
è :
.
Una verifica diretta dell'esattezza di questa equazione la possiamo ottenere applicando il principio
generale sopra esposto secondo il quale una retta passa per un punto se le sue coordinate soddisfano
l'equazione della retta.
Perché la retta
passi per il punto
deve succedere che le coordinate
di Q , sostituite nell'equazione della retta, la soddisfino. Soddisfare una equazione significa che ciò
che è scritto alla sinistra dell'uguale è esattamente uguale a ciò che è scritto alla destra dell'uguale.
Proviamo allora a sostituire
nella x ed
nella y . Otterremo allora :
ovvero :
cioè :
0 = 0 .
Ecco che allora l'equazione è soddisfatta. Ciò significa che la retta
passa per il
punto
.
03 - Esempio in fisica di rette passanti per un punto.
Consideriamo l'equazione :
.
Essa è formalmente identica all'equazione di una retta passante per un punto. Nel piano cartesiano
0st essa rappresenta allora una generica retta di coefficiente angolare v che passa per il punto
:
Il significato fisico di questa equazione è che essa rappresenta il grafico orario tempo-spazio di un
moto uniforme dotato di velocità v con la proprietà che, qualunque sia la velocità (ovvero la
pendenza della retta) al tempo
il corpo si trova nello posizione 
.
04 - Correzione dell'esercizio di fisica per casa del 29/10/2004.
Il lavoro fatto dalla forza peso del tuffatore è :
dove p è il peso del tuffatore ed h l'altezza da cui esso si tuffa.
Il peso(che è una forza) è dato dalla 2' legge della dinamica dalla formula :
dove m è la massa del tuffatore e g è l'accelerazione di gravità che vale circa :
.
Il lavoro compiuto dalla forza peso del tuffatore è quindi :
e vale, sostituendo i dati numerici (che sono riportati nel grafico) :
.
Per calcolare la velocità con cui il tuffatore tocca l'acqua basta ricordare che la differenza di energia
cinetica (in assenza di attriti) eguaglia il lavoro fatto dalla forza peso. Siccome il tuffatore parte da
fermo, la differenza di energia cinetica è uguale all'energia cinetica finale. Si ha allora :
.
Per ricavare la velocità basta isolarla alla sinistra dell'uguale. Per fare questo si può moltiplicare ambo
i membri per 2 ottenendo :
da cui :
.
Ora si può dividere ambo i membri per m :
ed ottenere :
.
Per ottenere la velocità v basta estrarre la radice quadrata di entrambi i membri ottenendo infine :
(questo dipende dal fatto che se un numero al quadrato è uguale ad un altro numero, il primo è uguale
alla radice quadrata del secondo, per esempio se
allora 
).
Sostituendo i valori numerici otteniamo :
.
Si possono a questo punto fare due interessanti considerazioni :
- 1 - nella formula appena trovata manca la massa del tuffatore. Corrisponde all'importante
fatto già noto che i corpi cadono tutti con la stessa accelerazione indipendentemente
dalla loro massa.
- 2 - se esprimiamo il risultato della velocità con cui il tuffatore tocca l'acqua in km/h , otteniamo
.
Se il tuffatore cadesse invece che sull'acqua sul cemento (da 10 metri) i risultati sarebbero
sicuramente nefasti. Orbene, un motociclista che urtasse un ostacolo rigido alla velocità di
50 km/h subirebbe gli stessi effetti ...
05 - Energia potenziale.
Consideriamo un corpo di massa m immerso nel campo gravitazionale terrestre. Se lo lasciamo
cadere, la forza peso p che agisce sul corpo compie un lavoro. Se lo lasciamo cadere da una altezza
maggiore il lavoro compiuto è maggiore, se l'altezza è minore, il lavoro è minore. Questo lavoro equivale
(trascurando gli attriti con l'aria) all'energia cinetica che il corpo possiede al momento dell'impatto con
il terreno.
La capacità, l'attitudine, che ha il corpo nel compiere un lavoro per il fatto di trovarsi in una certa
posizione all'interno di un campo di forze si chiama energia potenziale.
Possiamo allora affermare che l'energia potenziale di un corpo è l' energia di posizione che esso
possiede in potenza e che può trasformarsi in lavoro.
Nell'esempio del campo gravitazionale, diremo che il corpo possiede una energia potenziale
gravitazionale.
Una situazione analoga si ha quando un corpo è collegato ad una molla tesa. In questo caso, maggiore
è la tensione della molla maggiore è il lavoro che il corpo ad esso collegato può compiere. Anche in
questo caso possiamo dire che il corpo possiede una energia potenziale dipendente da quanto la molla
è tesa, quindi dalla posizione del corpo. In questo caso, trattandosi di un campo di forze elastiche,
diremo che il corpo possiede una energia potenziale elastica.
Vi sono altri tipi di energia potenziale in dipendenza del tipo di campo di forze presenti. Per esempio
assume una particolare importanza (anche per la vita di tutti i giorni) l'energia potenziale elettrica.
06 - Esercizio per casa.
Si lascia cadere un sasso per misurare la profondità di una voragine. Dopo 4 s si sente il rumore del
sasso che ha toccato il fondo. Calcolare la profondità della voragine e stimare l'entità dell'errore (tenendo
presente che la velocità del suono nell'aria è circa 340 m/s ).
Fine.