La funzione :
rappresenta tutte le rette del piano con eccezione delle rette verticali (parallele all'asse
delle y ). Tali rette verticali non possono essere il grafico di alcuna funzione e sono descritte
dall'equazione :
x = k
dove k è un numero reale qualunque.
Diamo qui alcuni esempi di rette del piano :
- 1 -
L'ordinata all'origine è p = -1 ed il coefficiente angolare è m = 2 per cui :
Si noti che la pendenza della retta è positiva.
- 2 -
L'ordinata all'origine è p = 1 ed il coefficiente angolare è m = -1/3 per cui :
Si noti che la pendenza della retta è negativa.
- 3 -
L'ordinata all'origine è p = 0 (infatti è come fosse scritto
) ed il
coefficiente
angolare è m = -1/4 per cui :
La pendenza della retta in questo caso è negativa. Si noti anche il fatto molto importante
che se una retta è priva di ordinata all'origine, ovvero si ha p = 0 , essa passa per
l'origine.
- 4 - y = x
L'ordinata all'origine è p = 0 ed il coefficiente angolare è m = 1 (è come fosse scritto
y = 1·x + 0) per cui :
Si noti che la retta ha pendenza positiva, passa per l'origine ed è bisettrice del I e III
quadrante (i quadranti si contano in senso antiorario a partire da quello corrispondente
ai semiassi positivi del sistema di assi cartesiani).
- 5 - y = -x
L'ordinata all'origine è p = 0 ed il coefficiente angolare è m = -1 per cui :
Si noti che la retta ha pendenza negativa, passa per l'origine ed è bisettrice del II e IV
quadrante.
- 6 - rette y = 2 ; y = -1 ; y = 0
Si tratta di rette con coefficiente angolare nullo ( m = 0 , perché sarebbe come scrivere
y = 0·x + 2 ; y = 0·x - 1 ; y = 0·x + 0 ) ed ordinata all'origine p = 2 ; p = -1 ; p = 0
rispettivamente per cui (in un solo grafico) :
Si noti che sono tutte rette con pendenza nulla e perciò parallele all'asse delle x . Si
noti anche che la funzione y = 0 corrisponde all'asse delle x .
Le rette di equazione y = k (dove k è un numero reale qualunque) sono tutte rette
parallele all'asse delle x . Tali rette possono essere viste anche come quegli insiemi
di punti del piano che hanno tutti la stessa ordinata k .
- 7 - rette x = -2 ; x = 0 ; x = 3
Si tratta di rette non rappresentabili dall'equazione
ma che, data la loro importanza, trattiamo ugualmente come rette di equazione x = k (dove k è un numero
reale qualunque). I loro grafici sono :
Si noti che sono tutte rette con pendenza infinita e perciò parallele all'asse delle y . Si
noti anche che l'equazione x = 0 corrisponde all'asse delle y .
Le rette di equazione x = k (dove k è un numero reale qualunque) sono tutte rette
parallele all'asse delle y . Tali rette possono essere viste anche come quegli insiemi di
punti che hanno tutti la stessa ascissa k .
02 - Energia cinetica.
Come abbiamo già visto al punto 5 dell'esercitazione in classe dello scorso 08/10/2004 , il lavoro
compiuto da una forza costante (in assenza di attriti) che agisce su di un corpo di massa m (nella
stessa direzione e verso del moto) inizialmente fermo per portarlo alla velocità v è pari a :
.Analogamente si può dimostrare che un corpo, dotato di massa m e velocità v , può compiere,
arrestandosi contro una molla o altri ostacoli, un lavoro pari a
. La quantità viene chiamata energia cinetica del corpo e corrisponde al lavoro che quel corpo può effettuare,
prima di fermarsi, in virtù della sua velocità. Il termine energia assume così, in questo caso,
il significato di capacità di compiere un lavoro ed il termine energia cinetica significa in sostanza
energia di movimento. Il simbolo che usiamo per indicare l'energia cinetica è la lettera T .
Quindi :
Osservando la formula che definisce l'energia cinetica possiamo subito affermare che essa è direttamente
proporzionale alla massa ed al quadrato della velocità. Questo significa che se la massa raddoppia,
l'energia cinetica raddoppia, ma se la velocità raddoppia, l'energia cinetica quadruplica.
Questo fatto è di grande importanza e dovrebbe essere ben tenuto presente da chi guida !!!
03 - Correzione esercizio per casa del 15/10/2004.
Innanzi tutto trasformiamo la velocità iniziale del primo corpo da km/h a m/s . Per questo basta
dividere per 3,6 . Quindi :
.
L'equazione oraria tempo-velocità del primo corpo è (trattandosi di moto rettilineo uniformemente
accelerato) :
da cui sostituendo si ottiene la funzione :
che rappresenta una retta rispetto ad un sistema di assi cartesiani t-v .
La velocità del primo corpo all'istante t = 4 s è allora :
v = 3·4 + 25 = 37 m/s
ed il grafico orario tempo-velocità del primo corpo è :
L'equazione oraria tempo-velocità del secondo corpo è (trattandosi anche qui di moto rettilineo
uniformemente accelerato) :
che corrisponde alla retta passante per l'origine indicata nello stesso grafico :
(questa seconda retta è stata disegnata considerando che per t = 4 s si ha v = 24 m/s ).
Osservando il grafico si nota che la prima retta ha una pendenza minore della seconda (il coefficiente
angolare della prima è 3 mentre quello della seconda è 6 ). Si nota anche che le due rette si incontrano
in un punto corrispondente ad un tempo di circa 10 s :
Il punto d'incontro fra le rette corrisponde ad un istante in cui i due corpi hanno la stessa velocità.
Il problema potrebbe anche essere interpretato considerando che il primo corpo cessi di accelerare
all'istante t = 4 s . Da quell'istante in poi esso continua a muoversi con velocità costante pari a v = 37 m/s .
Il grafico risulta allora :
In questo caso il punto d'incontro fra i grafici orari (dove le velocità sono uguali) corrisponde ad un
tempo di circa 6,75 s .
Occorre infine precisare che i valori di t per i punti di incontro (in entrambi i casi) sono stati ricavati
graficamente, quindi sono passibili di errore.
04 - Esercizio per casa.
Un tuffatore di massa m = 70 kg si tuffa da un trampolino alto s = 10 m (senza ruotare su se stesso
e trascurando gli attriti con l'aria). Ricordando che l'accelerazione di gravità è g = 9,8 m/s² (circa),
calcolare il lavoro fatto dalla forza peso durante il tuffo (fino a che il tuffatore tocca l'acqua) e la
velocità con cui egli tocca l'acqua.
Fine.