Le funzioni numeriche reali rivestono un ruolo fondamentale e centrale in tutto il vasto "edificio"
della matematica. Si tratta delle funzioni :
che mettono in corrispondenza i numeri reali che la variabile indipendente x può assumere ai
numeri reali che la variabile dipendente y di conseguenza viene ad ottenere.
Il simbolo f(x) sta ad indicare, nel caso più semplice e frequente, che alla destra dell'uguale vi è una
espressione matematica contenente operazioni ed altre funzioni della x .
Un esempio di funzione (d'ora in poi diremo brevemente "funzione" sottintendendo "numerica reale")
è :
dove sono utilizzate le sole operazioni + , - , / e l'elevamento al quadrato. Un altro esempio è :
dove, all'interno della funzione, sono addirittura "richiamate" altre funzioni (in questo caso la funzione
"esponenziale " (ovvero il numero di Nepero e elevato alla ... ) e la funzione "seno" (vedremo più
avanti le definizioni e le proprietà di queste funzioni)).
Uno degli scopi principali, data una funzione, è di disegnarne il grafico cartesiano. Tramite il grafico
è possibile vedere "immediatamente", a colpo d'occhio, l'andamento della funzione, cosa che non
sarebbe semplice se solo osservassimo l'espressione matematica f(x) della funzione stessa.
Per andamento della funzione si intende se essa cresce, cala, dove presenta eventuali punti di massimo,
minimo ecc. ecc. , tutte "preziose "informazioni che "caratterizzano" una funzione.
Uno degli obiettivi di questo corso è quindi, data una funzione, disegnarne il grafico. Tutto ciò va sotto
il nome di studio di funzione.
Data una funzione
ne possiamo quindi visualizzare il grafico semplicemente introducendo
un sistema di assi cartesiani ortogonali 0xy e su questo disegnando tutte le coppie ordinate (x,y)
ottenute dando tutti i possibili valori alla variabile x ed associando ad essi, fatti i calcoli indicati
dall'espressione matematica f(x) , i corrispondenti valori della y . Ognuna di queste coppie ordinate
(x,y) così ottenuta rappresenta un punto del grafico della funzione. Tali punti, allineati, costituiscono,
nei casi più semplici, una linea :
Un numero finito di punti del grafico può essere trovato dando certi valori a caso della x e
calcolando i corrispondenti risultati y . Può essere utile utilizzare uno schema (tabella) del
tipo :
dove abbiamo scelto per la x dei numeri "comodi" ed abbiamo indicato i corrispondenti valori della
y scrivendo f(...) (i puntini stanno per i vari valori della x ).
Naturalmente non è possibile calcolare tutti gli infiniti valori della y in corrispondenza degli infiniti
valori che la x può avere !!! Lo studio di funzione non consiste nel disegnare una funzione per punti
ma, tramite opportune analisi e considerazioni (che vedremo in seguito), nel determinarne l'andamento
utilizzando solo pochi punti "salienti". Comunque, con l'avvento dei computers, è possibile calcolare e
di conseguenza disegnare una gran quantità di punti. Le tecniche di calcolo numerico computerizzato
ci forniscono quindi un valido aiuto.
Per il suddetto grafico esemplificativo, considerando i punti dello schema, avremo :
Riportiamo per "curiosità" il grafico della prima funzione data sopra (
) :
e quello della seconda (
) :
(i grafici sono stati ottenuti utilizzando il programma di calcolo numerico grafico funzione )
Osservando l' "eleganza" e la "bellezza" di questi grafici, possiamo già da subito avvertire quanto lo
studio di funzione sia una materia "affascinante" oltre che utile !!
Cominciamo ora a studiare un certo numero di funzioni notevoli di particolare importanza che
costituiscono una sorta di "scatola degli attrezzi" del matematico e che quindi dovremo conoscere
bene perché le utilizzeremo continuamente.
02 - La funzione polinomio di primo grado rappresenta una retta.
La funzione più semplice (fra quelle esprimibili con formule matematiche) è sicuramente il polinomio
di primo grado nella variabile indipendente x :
dove m e p sono due numeri reali (detti anche parametri) dati a priori e non variabili.
Per esempio, se m = 2 e p = 1 , avremo :
y = 2x + 1 .
Proviamo ora a disegnare il grafico di questa funzione per punti usufruendo dello schema :
in cui i valori della y sono ottenuti sostituendo alla x i valori di comodo indicati a sinistra.
Se poniamo i punti così ottenuti sul piano cartesiano otteniamo una retta :
(anche i punti intermedi ai punti individuati dallo schema appartengono alla retta !!).
E' semplice intuire che ogni funzione polinomio di primo grado ha per grafico una retta.
Si dice allora che la funzione
,
il cui grafico è una retta, è l'equazione della retta stessa.
Vediamo ora il significato geometrico dei parametri m e p .
Consideriamo la retta "generica" (di equazione)
dove, come al solito, m e p sono
parametri prefissati. Proveremo a disegnarla in maniera altrettanto generica, senza dare valori
particolari ai parametri m e p . Per fare questo, siccome una retta è individuata da soli due
punti, diamo alla x i due valori "semplici" 0 ed 1 e li sostituiamo per ricavare la y . Otteniamo
allora le coppie ordinate indicate nello schema :
che, riportate su piano, ci forniscono :
dove abbiamo indicato con A il punto (0 , p) e con B il punto (1 , m + p) .
Abbiamo, cosa molto importante, anche tracciato la perpendicolare da A (così come indicato in figura)
ottenendo il punto H e di conseguenza il triangolo AHB rettangolo in H .
La prima cosa che si nota osservando il grafico è che il parametro p rappresenta l'ordinata del punto
della retta di ascissa 0 . Per questo motivo il parametro p viene detto ordinata all'origine della retta.
Il significato di m è un po' meno immediato ma di grande importanza. Se consideriamo il rapporto
fra il cateto BH ed il cateto AH , notiamo che esso vale m (essendo BH = m ed AH = 1 ). Tale
rapporto rappresenta la pendenza della retta (la pendenza indicata nei cartelli stradali è calcolata nello
stesso modo !!). Maggiore è il valore di m , maggiore è la pendenza della retta. Nell'esempio la pendenza
è positiva e corrisponde ad un m positivo.
Il parametro m è legato quindi all'angolo α indicato in figura :
per questo motivo, esso è chiamato coefficiente angolare della retta.
Il procedimento qui indicato per mostrare il significato geometrico di m e p , può essere utilizzato
per disegnare "velocemente" una retta. Data l'equazione di una retta, si pone subito sul grafico
l'ordinata all'origine, quindi si "avanza" di 1 a destra e si "sale" di un valore pari ad m . Così
si sono determinati due punti per cui tracciare la retta.
Occorre subito notare che se m fosse negativo, invece di "salire" si dovrà "scendere" ed in questo
caso la pendenza sarebbe negativa. Per esempio :
Se m vale 0 la pendenza è nulla e la retta è parallela all'asse delle x . In questo caso l'equazione
della retta si riduce a :
y = p .
Graficamente :
Cosa succede se l'angolo α è un angolo retto ? In questo caso la pendenza è infinita ed m ,
dato dal rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale (non essendoci più nessun cateto) non
può essere fatto, non assume alcun valore reale.
La cosa potrebbe essere vista come passaggio al limite partendo da una certa pendenza ed
aumentandola progressivamente. Si vede così che il parametro m tende all'infinito. Per questo
motivo si dice che la pendenza è infinita :
Il rapporto fra i cateti BH , B'H , B''H ecc. ed il cateto AH , che vale 1 , tende quindi all'infinito.
Abbiamo così scoperto che non tutte le rette del piano sono rappresentabili da una funzione del tipo
. Le rette di equazione x = k :
dove k è un numero reale qualunque, sono rette parallele all'asse delle y . Queste rette sono
formate dai soli punti di ascissa x = k . Queste rette non rappresentano neppure una funzione
perché una funzione, per essere tale, deve avere una sola immagine per ogni valore di x . In questo
caso, per il solo valore x = k corrispondono infiniti valori di y !!
Riassumendo, al variare di m si hanno tutte le rette del piano :
eccetto quelle parallele all'asse delle y di equazione x = k .
03 - Esercizi di matematica per casa.
Scrivere, inventandole, alcune equazioni di rette e disegnarne il grafico.
04 - Utilizzo dell'equazione della retta in fisica.
L'equazione della retta è fondamentale anche per la fisica.
La descrizione di molti fenomeni fisici si riduce a scrivere l'equazione di una retta. Diamo
qui alcuni esempi ben noti perché già trattati più volte in questo corso. Ora, però, alla luce di
quanto appreso circa l'equazione della retta, questi argomenti possono essere compresi con
più profondità.
- 1 - equazione oraria del moto rettilineo uniforme.
Consideriamo un corpo su cui non agiscono forze esterne (la loro risultante è nulla).
Questo corpo, a causa del principio d'inerzia, si muoverà di moto rettilineo uniforme
ovvero con velocità costante. Come già sappiamo, per questo tipo di moto l'equazione
che lega lo spazio percorso al tempo è :
dove s è lo spazio, v la velocità costante con cui si muove il corpo, t è il
tempo e
è lo spazio
iniziale, cioè lo spazio già percorso dal corpo al tempo 0
(rispetto ad un punto della traiettoria preso come origine dello spazio).
Questa equazione è detta equazione oraria del moto.
Se consideriamo t la variabile indipendente ed s la variabile dipendente, la suddetta
equazione è l'equazione di una retta sul piano cartesiano 0ts . Infatti, se per esempio v = 10 m/s
e
= 20 m , l'equazione
oraria diventa :
s = 10 t + 20 .
Possiamo allora scrivere la seguente tabella :
da cui possiamo disegnare il grafico :
Il moto in questione è quindi rappresentato da una retta di coefficiente angolare 10 e di
ordinata all'origine 20 . Esprimendo il coefficiente angolare la pendenza della retta, ed
essendo tale coefficiente pari alla velocità ( v = 10 ), si deduce che :
la velocità è uguale al coefficiente angolare della retta, ovvero alla sua pendenza.
Questo fatto è di importanza capitale.
Supponiamo ora che il moto avvenga con velocità maggiore, mettiamo v = 20 (sempre
con la stesso spazio iniziale). L'equazione oraria del moto risulta allora :
s = 20 t + 20 .
da cui si può ricavare la tabella :
e di conseguenza il grafico (che affiancheremo al precedente con v = 10 ) :
In questo caso la velocità (il coefficiente angolare della retta) è v = 20 e quindi la
pendenza della retta è maggiore di quella con velocità v = 10 .
Supponiamo ora che il corpo sia fermo, cioè sia dotato di velocità v = 0 . L'equazione
oraria del moto sarà :
s = 20
che corrisponde ad una retta parallela all'asse delle x (che affianchiamo alle precedenti ) :
Qui abbiamo velocità nulla, cioè coefficiente angolare nullo, ovvero pendenza nulla : al
passare del tempo la posizione del corpo resta la stessa.
Infine supponiamo che la velocità sia negativa, per esempio v = -20 . In questo caso,
al passare del tempo, l'ordinata, che indica la posizione del corpo, diminuisce. L'equazione
oraria è allora :
s = -20 t + 20 .
Le relativa tabella é :
ed il grafico è (accanto ai precedenti) :
In questo caso abbiamo una velocità negativa, quindi una retta con un coefficiente angolare
negativo ovvero una pendenza negativa.
- 2 - equazione tempo-velocità del moto rettilineo uniformemente accelerato.
L'equazione che lega il tempo t alla velocità v per un moto rettilineo uniformemente
accelerato, come già sappiamo, è :
dove v è la velocità, a l'accelerazione costante, t il tempo e
la velocità iniziale.
Se consideriamo il sistema di riferimento cartesiano 0tv questa funzione rappresenta
anch'essa una retta su cui possiamo fare tutte le considerazioni su ordinata all'origine e
coefficiente angolare fatte in precedenza :
05 - Esercizio di fisica per casa.
Consideriamo un corpo in moto rettilineo uniformemente accelerato. Sia
= 90 km/h la sua velocità
iniziale ed a = 3 m/s² la sua accelerazione. Si calcoli la velocità raggiunta al tempo t = 4 s e si disegni il
grafico tempo-velocità del moto.
Si consideri un altro corpo, anch'esso in moto rettilineo uniformemente accelerato. La velocità iniziale di
questo corpo sia
= 0 m/s e la sua accelerazione sia a = 6 m/s² . Si disegni il grafico tempo-velocità anche di questo corpo nello stesso sistema di assi cartesiani ortogonali e si determini l'istante in cui esso
raggiunge la velocità del primo.
Fine.