Siano dati i seguenti sottoinsiemi di R :
Si determini :
- 1 - D(G) (il derivato di G)
- 2 - L’insieme dei punti isolati di G
- 3 - L’insieme dei punti non isolati di G
- 4 - Se A,B,C,D,E,F,G sono chiusi, densi in sé, perfetti, aperti
- 5 - Int(G) (l’interno di G)
- 6 - F(G) (la frontiera di G)
- 7 -
(la chiusura di G)Svolgimento :
Poniamo i punti dei vari insiemi indicati dal testo sulla retta reale :
Le risposte ai quesiti sono :
- 1 - Il derivato di G è l'insieme dei punti di accumulazione di G , per cui :
.
Infatti 1 è il solo punto di accumulazione di A (si noti che 1 non appartiene ad A ),
è il derivato di B , 
è
il derivato di C , 
è il derivato di D e
è il derivato di E .
L'insieme F non ha punti di accumulazione.
- 2 - L'insieme dei punti isolati di G è :
.
Infatti, gli insiemi A ed F sono formati da soli punti isolati.
- 3 - L'insieme dei punti non isolati di G è l'insieme dei punti di accumulazione di G che
siano anche punti di G . Si ha allora :
.
Si noti che 1 è punto di accumulazione di A ma non appartiene ad A (e quindi a G ).
Per questo motivo il punto 1 non è punto non isolato di G .
- 4 - L'insieme A non è né chiuso, né denso in sé, né perfetto, né aperto.
L'insieme B è denso in sé ed aperto.
L'insieme C è denso in sé.
L'insieme D è denso in sé.
L'insieme E è perfetto (quindi è anche chiuso e denso in sé).
L'insieme F è chiuso perché il suo derivato è l'insieme vuoto
che
è sottoinsieme
di F .
L'insieme G non è né chiuso, né denso in sé, né perfetto, né aperto.
- 5 - L'interno di G è l'insieme di tutti i suoi punti interni. Quindi :
.
- 6 - La frontiera di G è l'insieme di tutti i suoi punti di frontiera. Quindi :
.
Si tenga presente che tutti i punti di A sono isolati (quindi anche di frontiera) così come
i punti di F . Il punto 1 è punto di accumulazione di A ed anche suo punto di frontiera.
- 7 - La chiusura di G è l'unione di G con il suo derivato. Quindi :
essendo
punti di accumulazione di G non appartenenti a G . I punti
di
accumulazione di G appartenenti a G (i suoi punti non isolati) sono già ovviamente
contemplati in G .
02 - Esercitazione per casa.
Siano dati i seguenti sottoinsiemi di R :
Si determini :
- 1 - D(G) (il derivato di G)
- 2 - L’insieme dei punti isolati di G
- 3 - L’insieme dei punti non isolati di G
- 4 - Se A,B,C,D,G sono chiusi, densi in sé, perfetti, aperti
- 5 - Int(G) (l’interno di G)
- 6 - F(G) (la frontiera di G)
- 7 -
(la chiusura di G)Fine.