Vedi pagina : EffettoCasimir.htm .
02 - Metrica sulla retta reale.
Sulla retta reale è possibile definire una distanza fra due suoi punti presi a piacere. In questo modo si
dota la retta di una struttura metrica. La retta reale dotata di questa struttura metrica costituisce uno
spazio metrico : il primo e molto semplice esempio di spazio metrico fra i molti che incontreremo
in futuro.
La distanza fra due punti x e y è data dalla formula :
.(ricordiamo che il valore assoluto | | (o modulo) di un numero è quell'operazione che restituisce il
medesimo numero se esso è positivo o nullo, o gli cambia di segno, facendolo diventare positivo, se
esso è negativo)
La distanza fra due punti è quindi positiva se i punti sono distinti e nulla se i punti coincidono :
Si può anche definire la distanza fra un punto ed un insieme (sottoinsieme della retta reale) prendendo
il valore inferiore fra tutte le distanze fra quel punto e tutti i punti dell'insieme in questione. Si scrive
allora :
dove x è un punto ed A un insieme. Per esempio :
Analogamente si può definire la distanza fra due insiemi (sottoinsiemi della retta reale) come la distanza
inferiore fra tutte le distanze prese fra tutte le coppie di punti che stanno sul primo e sul secondo insieme.
Quindi :
.Per esempio :
Utilizzando il concetto di metrica, la posizione di un punto x rispetto ad un insieme A si può distinguere
nei seguenti casi :
- x è interno ad A se A coincide con R oppure se la distanza del punto x dal complementare
di A rispetto ad R (l'insieme di tutti i punti di R che non appartengono ad A e che si indica con
) è positiva , cioè
se :
.
Per esempio :
Questa definizione di punto interno è equivalente a quella data in precedenza.
- x è esterno ad A se la distanza fra il punto x e l'insieme A è positiva, cioè se :
.
Per esempio :
- x è un punto di frontiera per A se A non coincide con R e la distanza fra il punto x e
l'insieme A è nulla così come è nulla la distanza fra il punto x ed il complementare di A . Cioè :
.
Per esempio :
L'insieme dei punti interni dell'insieme A si chiama interno di A e si indica con :
.
L'insieme dei punti di frontiera dell'insieme A si chiama frontiera di A e si indica con :
.
03 - Lavoro ed energia.
Il concetto di energia è più o meno "innato" e la parola stessa viene spesso pronunciata nel linguaggio
comune. La definizione esatta, fisica, di energia, invece, è tutt'altro che semplice. Anche storicamente
la comparsa dell'energia nello scenario della scienza è piuttosto tardiva (1800). Galileo e Newton stessi
non ne fanno menzione. Il concetto di energia nasce in piena rivoluzione industriale quando le macchine
cominciano ad avere una diffusione ed una importanza sempre maggiore.
Proviamo ora a dare una prima definizione di energia in maniera indiretta.
Vi sono dei fenomeni analizzando i quali si "sente" l'esigenza di una nuova grandezza fisica rispetto a quelle
fin qui studiate. Per esempio :
- 1 - Urto fra due corpi.
Supponiamo che un corpo di massa
dotato di velocità 
urti un corpo di massa 
dotato di velocità
. Supponiamo che, per semplicità, i due moti siano rettilinei e che
l'urto avvenga sulla medesima retta :
A causa del principio di conservazione della quantità di moto, possiamo scrivere :
dove
e 
sono le
velocità dopo l'urto dei due corpi.
Analizzando la formula scritta sopra, notiamo che, se da una parte sono note le due velocità
prima dell'urto, le due velocità dopo l'urto sono invece indefinite. Il motivo di questo dipende
dal fatto che qui abbiamo una sola equazione con due incognite (
e possono
avere
infiniti valori tali che, se sostituiti nell'equazione, rendano soddisfatta l'equazione, cioè
facciano sì che il primo membro sia uguale al secondo).
D'altra parte, il fenomeno è fisicamente ben determinato ed i due corpi escono dall'urto
con due velocità ben precise. Se avessimo una seconda equazione, sempre nelle medesime
incognite, il problema matematico sarebbe completamente determinato. Si sente allora
l'esigenza di una nuova grandezza fisica da associare alla quantità di moto che dia luogo
ad una seconda equazione.
- 2 - Locomotiva a vapore.
Vi deve essere una qualche relazione fra il calore prodotto dalla combustione del carbone
e la velocità che se ne ottiene.
- 3 - Pannello fotovoltaico.
Attraverso la luce solare si ottiene corrente elettrica. Che relazione vi è fra le due "cose" ?
Analizzando i suddetti fenomeni (ed innumerevoli altri) si deduce che vi è una nuova grandezza fisica
che di questi fenomeni è in un certo senso la causa. Questa grandezza fisica è l'energia.
Come misurare l'energia ? Ciò è di fondamentale importanza. Se troviamo un modo di misurarla, la
definizione intuitiva data sopra diventa finalmente esatta. La fisica si occupa solo di grandezze misurabili.
Siccome, come si vede dagli esempi, l'energia produce uno spostamento, è proprio da questo spostamento
che si può avere una definizione esatta di energia. Per questo motivo dobbiamo introdurre una ulteriore
grandezza fisica : il lavoro.
In analogia con il senso comune della parola, vi è lavoro quando una forza compie uno spostamento.
Consideriamo una forza
(intesa vettorialmente) che agisce su di un corpo. Supponiamo che il corpo,
a causa di questa forza, subisca uno spostamento
(anch'esso vettore). Supponiamo per semplicità
che le direzioni (rette su cui giacciono i vettori) dei due vettori siano parallele e con lo stesso verso :
Si dice allora che la forza produce un lavoro W pari a :
dove F ed s sono le intensità (numeri che esprimono i "valori" rispetto alle unità di misura delle due
grandezze vettoriali in questione) dei rispettivi vettori.
La definizione è ben posta perché, per esempio, se si raddoppia lo spostamento, il lavoro raddoppia
così come se, a parità di spostamento, si raddoppia la forza.
Il lavoro è una grandezza non vettoriale (si dice grandezza scalare) ed è quindi dato dal prodotto
dell'intensità della forza per la misura dello spostamento che essa compie.
Si deduce immediatamente che l'unità di misura del lavoro è :
(newton · metro)
che, data l'enorme importanza che ha in fisica il lavoro, viene indicato col nome di joule (J) in onore
dello scienziato che per primo scoprì il rapporto matematico che c'è fra lavoro e calore (è noto a
tutti che il lavoro produce calore !). Quindi :
.
Una forza di 1 N applicata ad un corpo che si sposta di 1 m nella direzione e nel verso della forza
compie un lavoro di 1 J . Per avere un'idea di quanto sia 1 J , basta pensare che un corpo di 1 hg
di massa, soggetto alla forza di gravità terrestre (qui, sulla sua superficie) subisce una forza peso di
circa 1 N . Deduciamo allora che, se solleviamo tale corpo di 1 m , compiamo un lavoro di 1 J .
Sorge però a questo punto un problema. Abbiamo finora considerato forze e relativi spostamenti su
direzioni parallele ed abbiamo definito il lavoro in tali situazioni. Che cosa succede se la direzione
della forza non è parallela a quella della spostamento ? La risposta è semplice : il lavoro non è più
uguale alla intensità della forza per lo spostamento. Anche con banali considerazioni "pratiche" ci
accorgiamo di questo perché se, per esempio, "tiriamo" un corpo con una forza di direzione diversa
da quella dello spostamento facciamo più "fatica" (quindi compiamo maggiore lavoro per ottenere
lo stesso "risultato").
La formula del lavoro va quindi modificata e per farlo basta considerare che un forza si può sempre
scomporre (con la regola del parallelogramma) come somma vettoriale di due componenti,
una parallela allo spostamento ed una perpendicolare al esso :.
La forza
risulta quindi scomposta in :
.
La componente perpendicolare
,
come è immediato notare, non genera spostamento quindi a compiere lavoro è la componente parallela
. Naturalmente, in questo caso il lavoro è minore rispetto al caso in cui la direzione di
è parallela a quella dello spostamento.
La formula del lavoro diventa quindi :
dove
è
l'intensità della componente parallela
(che è un vettore).
Concludiamo questa introduzione all'energia affermando in maniera molto intuitiva ed empirica che dove
c'è un lavoro, allora è "coinvolta", è "in gioco", dell'energia. Il lavoro può essere allora utilizzato per
misurare l'energia.
Fine.