Corso di cultura scientifica di base : 17/09/2004

CORSO DI CULTURA SCIENTIFICA DI BASE

(39') incontro del 17/09/2004

resoconto

01 - Moti traslazionali e rotazionali.

Studiando i moti traslazionali (moti di corpi considerati come punti materiali percorrenti traiettorie
continue) abbiamo desunto alcune formule matematiche di fondamentale importanza che descrivono
le proprietà di questi moti.

Formule analoghe sono riscontrabili per i moti rotazionali (moti di corpi solidi che, nel caso più semplice,
sono vincolati a ruotare attorno ad un asse).

Vi è quindi una stretta analogia fra le formule che descrivono i due tipi di moto e questo fatto sottolinea
ancora una volta l' "armonia" e l' "unicità" delle leggi che governano il cosmo.

Possiamo riassumere sinteticamente in una tabella queste analogie :

Moti traslazionali :			Moti rotazionali : (un solo corpo ruotante attorno ad un asse fisso)
Grandezza fisica o legge	Formula	Significato	Grandezza fisica o legge	Formula	Significato
velocità		variazione della posizione nell'unità di tempo	velocità angolare		variazione dell'angolo nell'unità di tempo
accelerazione		variazione della velocità nell'unità di tempo	accelerazione angolare		variazione della velocità angolare nell'unità di tempo
massa	m (è una costante caratteristica di ogni corpo)	resistenza che oppone un corpo alla variazione della sua velocità	momento d'inezia	I (dipende dalla distribuzione della massa del corpo)	resistenza che oppone un corpo ruotante alla variazione della sua velocità angolare
forza	F	causa che produce una accelerazione	momento della forza	M (forza per il braccio)	causa che produce una accelerazione angolare
quantità di moto		prodotto della massa per la velocità	momento angolare		prodotto del momento d'inerzia per la velocità angolare
secondo principio della dinamica
principio di conservazione della quantità di moto	costante	in un sistema isolato la quantità di moto totale è costante	principio di conservazione del momento angolare	costante	il momento angolare di un corpo ruotante isolato è costante

Si noti che abbiamo introdotto per analogia una nuova grandezza, il momento angolare, e, sempre per
analogia, un nuovo principio di conservazione, il principio di conservazione del momento angolare.

Vedremo in seguito che queste "invenzioni" sono fisicamente ben giustificabili !!!

02 - Momento angolare.

In analogia con la quantità di moto, abbiamo introdotto una nuova grandezza : il momento angolare
(detto anche momento della quantità di moto). Esso è definito da :

ovvero dal prodotto del momento d'inerzia per la velocità angolare.

Si tratta di una grandezza vettoriale che ha direzione coincidente con l'asse di rotazione, verso definito
dall'avanzamento di una vita destrorsa che segue la rotazione e intensità pari al valore indicato dalla
formula precedente.

Per un sistema isolato di punti materiali (sistema non soggetto a forze esterne, ovvero sistema per cui la
sommatoria delle forze esterne (intese come vettori) è nulla) si conserva la quantità di moto totale
(somma delle quantità di moto di tutti i punti materiali intese come vettori)

Analogamente, per un tale sistema si conserva anche la somma di tutti momenti angolari. Più semplicemente,
per un corpo solido ruotante attorno ad un asse fisso, in assenza di momenti di forze esterne (o se la sommatoria
di tali momenti intesi come vettori è nulla), si conserva il momento angolare :

.

Il principio di conservazione del momento angolare è di fondamentale importanza. Tramite esso si possono
comprendere importanti fenomeni naturali anche a livello cosmico.

Esempi :

        - 1 -    il pattinatore

                   tutti noi sappiamo che se un pattinatore allarga le braccia, la sua velocità angolare di rotazione
                   diminuisce, mentre se le chiude, la velocità aumenta. Ciò dipende dal fatto che il momento
                   d'inerzia di un corpo dipende dalla sua massa e da come essa è distribuita (in modo che se
                   la massa è più distante dall'asse di rotazione il momento d'inerzia aumenta) per cui, quando
                   il pattinatore allarga le braccia, il suo momento d'inerzia aumenta, mentre quando le chiude
                   diminuisce. Essendo il momento angolare uguale al prodotto del momento d'inerzia per la
                   velocità angolare e dovendo esso, poiché il momento risultante delle forze applicate (forza
                   di gravità e reazioni vincolari) è nullo, conservarsi, quando il pattinatore allarga le braccia il
                   suo momento d'inerzia aumenta e quindi, perché il momento angolare non vari, occorre che
                   la velocità angolare diminuisca. Viceversa, quando egli stringe le braccia, il suo momento
                   d'inerzia diminuisce così che la velocità angolare deve aumentare perché il momento angolare
                   rimanga ancora costante.

        - 2 -    il tuffatore

                   allo stesso modo del pattinatore, il tuffatore, rannicchiandosi, diminuisce il proprio momento
                   d'inerzia rispetto all'asse di rotazione passante per il baricentro, quindi aumenta la propria
                   velocità angolare e di conseguenza ruota più velocemente. Anche in questo caso il momento
                   risultante delle forze esterne (forza di gravità) è nullo.

        - 3 -    la ruota di bicicletta

                   perché andando in bicicletta, a velocità piccole è più difficile stare in equilibrio ? A velocità piccole,
                   il momento angolare delle ruote è piccolo (esso è proporzionale alla velocità angolare) per cui
                   piccole sollecitazioni esterne fanno sì che l'equilibrio si rompa. A grandi velocità, invece, il momento
                   angolare è grande per cui dette sollecitazioni non riescono a disturbare l'equilibrio. Questo si
                   dimostra facilmente tenendo in mano un asse su cui ruota una stessa ruota di bicicletta. Se la
                   velocità della ruota è grande si fa molta fatica a modificare l'orientazione dell'asse.

        - 4 -    la rotazione terrestre

                   la terra, come ogni pianeta e satellite, ruota attorno ad un asse (anche le galassie ruotano,
                   lentissimamente attorno ad un proprio asse !). Questa rotazione è uniforme e costante proprio
                   a causa del principio di conservazione del momento angolare. E' proprio grazie a questo
                   principio che il giorno dura (per fortuna) sempre 24 ore (circa). In effetti questa rotazione
                   non è perfettamente costante (in natura non esiste la perfezione !). Essa è disturbata da vari
                   fattori (la asimmetria della distribuzione della massa, il "disturbo" apportato dalla luna (maree), ecc.).
                   Questi disturbi sono deboli perché la terra non è soggetta ad alcun momento di forza considerevole,
                   dato che la retta d'azione della forza gravitazionale esercitata dal sole e dalla luna passa per il
                   centro della terra.

03 - Chiusura di un insieme.

Consideriamo un insieme A (sottoinsieme della retta reale) ed il suo derivato

. Con questi due
insiemi se ne può costruire un terzo, detto chiusura di A e denotato come

, formato dall'unione di A
con il suo derivato. Quindi :

.

Naturalmente la chiusura dell'insieme A è sempre un insieme chiuso, qualunque sia la natura di A . Per
esempio, consideriamo il ben noto insieme :

.

Esso è costituito da tutti punti isolati ed ha un solo punto di accumulazione, il punto 0 , non appartenente
ad A . Il derivato di A è quindi :

.

La chiusura di A sarà allora :

.

In questo caso il derivato di

continua ad essere

. Quindi avremo

, per cui deduciamo,
come deve essere, che

è un insieme chiuso.

Un altro esempio molto semplice di chiusura è il caso dell'intervallo aperto

. La sua chiusura è
ovviamente il corrispondente intervallo chiuso

in quanto gli estremi a e b dell'intervallo aperto
sono punti di accumulazione dell'intervallo stesso .

Un ultimo esempio molto interessante di chiusura, si ha considerando l'insieme dei numeri razionali Q .
Il derivato di Q è tutto R per cui la chiusura di Q è R .

04 -Insieme denso in un altro.

Consideriamo ora l'insieme A sottoinsieme dell' insieme B (entrambi sottoinsiemi della retta reale), cioè

. Se si verifica che B è sottoinsieme della chiusura di A , cioè

, allora si dice che
A è denso in B .

Esempi :

- Intervallo aperto

. Esso è denso nell'intervallo chiuso

perché la chiusura di

per cui si ha

.

- Insieme Q . Esso è denso in R perché la chiusura di Q è R per cui si ha

.

Il concetto di insieme denso in un altro (così come in se stesso) così definito, precisa il significato intuitivo
del della parola "denso".

05 - Punto interno. Insieme aperto.

Consideriamo l'insieme A (sottoinsieme della retta reale) ed un suo punto x . Se esiste un intervallo
aperto

che contiene x e che è contenuto a sua volta in A , si dice che x è un punto interno
di A . Cioè se si verifica che :

.

Ecco un esempio grafico :

Si vede bene che il punto x è un punto interno ad A mentre il punto y (punto isolato) non lo è.

Un insieme i cui punti sono tutti interni si chiama insieme aperto.

Un esempio di insieme aperto è ovviamente l'intervallo aperto

.

Un altro insieme aperto è R . Si noti che R è anche chiuso !!!

Anche l'insieme vuoto

è un insieme aperto, perché se tale non fosse avrebbe almeno un punto non interno,
ma l'insieme vuoto non ha elementi ...

L'insieme vuoto è anche chiuso perché il suo derivato è l'insieme vuoto stesso (quindi esso è addirittura perfetto).

Un insieme, quindi, può essere contemporaneamente aperto e chiuso. Questo può sembrare contraddittorio
per la logica comune. In matematica, invece, ciò non crea alcuna contraddizione. Le definizioni sono "ben poste"
e quindi le conseguenze sono coerenti (anche se a volte sembrano "cozzare" con il buon senso).

Fine.