Un punto di accumulazione di un insieme (sottoinsieme della retta reale) può appartenere o non
all'insieme stesso.
Consideriamo l'insieme
ovvero l'intervallo aperto di estremi 1 e 2 (escludendo
i medesimi).
Consideriamo il punto 1 . Esso è chiaramente punto di accumulazione di A ma non appartiene ad A .
Infatti, ogni intorno circolare di 1 , con esclusione di 1 stesso, contiene punti di A :
Lo stesso possiamo dire per 2 :
Consideriamo ora il punto
. Anch'esso è punto di accumulazione di A , ma in questo caso
esso
appartiene ad A :
Un punto appartenente ad un insieme che sia punto di accumulazione dell'insieme stesso si dice punto
non isolato (dell'insieme in questione). Anche tutti gli altri punti di A , in questo caso, sono punti di
accumulazione di A e suoi punti non isolati :
Ribadiamo infine che, come già sappiamo, un punto appartenente ad un insieme che non sia punto di
accumulazione dell'insieme stesso si dice suo punto isolato.
02 - Derivato di un insieme.
Dato l'insieme A (sottoinsieme della retta reale) possiamo chiederci quali sono tutti i suoi punti di
accumulazione. L'insieme dei punti di accumulazione di un insieme riveste un ruolo molto importante
e viene chiamato insieme derivato e denotato con la scrittura :
.
Vediamo alcuni esempi.
- 1 - Insieme
:
Si tratta di un insieme che conosciamo bene ed il cui unico punto di accumulazione è 0 .
Gli altri punti sono tutti punti isolati mentre il punto 0 non appartiene all'insieme A .
Il derivato di A è allora l'insieme che contiene il solo punto 0 , quindi :
.
- 2 - Insieme
:
Si tratta di un insieme formato da soli tre punti isolati per cui non vi sono punti di accumulazione.
Questo si deduce dal fatto che per ogni punto di A , se si prende un intorno circolare abbastanza
stretto (escludendo il punto stesso) non vi sono altri punti di A che cadono nell'intorno suddetto.
Il derivato di A è quindi in questo caso l'insieme vuoto, cioè :
.
- 3 - Insieme
:
Si tratta dell'intervallo aperto contenente tutti i numeri fra a e b escludendo gli estremi.
I punti di accumulazione di questo insieme sono tutti i punti dell'intervallo aperto e gli
estremi a e b , ovvero l'intervallo chiuso
. Quindi :
.
- 4 - Insieme
:
L'insieme in questione è l'intervallo chiuso formato da tutti i punti compresi fra a e b
comprendendo gli estremi. Il derivato di A è A stesso ( a e b sono punti di
accumulazione di A ed appartengono ad A ), per cui :
.
- 5 - Insieme dei numeri razionali Q .
Si tratta, come ben sappiamo, dell'insieme delle frazioni di numeri interi con denominatore
non nullo. Assieme all'insieme dei numeri irrazionali (che non sono esprimibili per mezzo di
frazioni di numeri interi, quali
) essi formano l'insieme dei numeri reali R .
Ogni numero razionale è punto di accumulazione di Q . Infatti, per esempio, preso il punto 0 ,
(che è razionale) ogni suo intorno circolare, escludendo 0 stesso, contiene almeno un numero
razionale (addirittura ne contiene infiniti) :
Consideriamo ora un numero irrazionale, per esempio
. Anche questo numero è punto
di accumulazione di Q , così come ogni altro numero irrazionale. Infatti, tornando all'esempio
di
, ogni suo
intorno circolare, escluso il punto stesso, contiene almeno un numero
razionale
che si può ottenere troncando la rappresentazione decimale (ad infiniti decimali non periodici) di
,
che è :
.
Addirittura i numeri razionali contenuti in ogni intorno circolare di
sono infiniti. Graficamente :
Possiamo quindi concludere che il derivato di Q è R , cioè :
.
Questo fatto è di estrema importanza.
- 6 - Insieme dei numeri reali R .
Per quanto affermato al punto precedente, il derivato di R è ovviamente R stesso. Quindi :
.
03 - Insieme chiuso, denso in sé, perfetto.
Confrontando un insieme A con il suo derivato
, si possono avere i seguenti casi :
.
Nel primo caso si dice che l'insieme A è chiuso. L'insieme del precedente esempio - 2 - è un insieme
chiuso perché l'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme. Anche l'insieme dell'esempio - 4 - è un
insieme chiuso (infatti esso è un intervallo che già avevamo definito usando l'aggettivo "chiuso").
Nel secondo caso si dice che l'insieme A è denso in sé. E' questo il caso degli esempi - 3 - e - 5 - .
Il significato "intuitivo" della parola "denso" è chiaro considerando l'insieme Q . Ogni punto di Q ha
intorni circolari che contengono infiniti numeri razionali ed infiniti numeri irrazionali.
Nel terzo caso si dice che l'insieme A è perfetto. Sono perfetti gli insiemi degli esempi - 4 - e - 6 - .
Naturalmente, un insieme perfetto è anche chiuso e denso in sé.
Un insieme può essere né chiuso, né denso in sé, né perfetto. E' il caso dell'insieme
in
quanto il suo derivato,
, non ha punti in comune con l'insieme stesso.
04 - Ripasso di meccanica.
Sono stati sinteticamente illustrati i principali argomenti di meccanica newtoniana fin qui svolti.
Fine.