E' stata ripresentata la definizione del punto di accumulazione corredata di vari esempi.
02 - Precisazioni sul momento della forza.
Negli esempi precedenti abbiamo considerato un corpo ruotante attorno ad un asse ed una forza
giacente sul piano di rotazione del corpo (piano perpendicolare all'asse). In generale, una forza può
essere diretta lungo una qualsiasi retta. Tali casi possono essere sempre ricondotti ai precedenti con
semplici scomposizioni delle forze agenti.
Un corpo può anche essere libero di ruotare attorno ad un semplice punto (per esempio un giunto
cardanico). Anche questo caso viene descritto in termini di momento il quale è sempre definito come
prodotto della forza per il braccio (dove per braccio si intende sempre la distanza fra il punto di
rotazione e la direzione della forza).
03 - Momento d'inerzia.
La "fatica" con la quale si ottiene una rotazione di un corpo (rigido) attorno ad un asse dipende dalla
massa del corpo e da come essa è distribuita.
E' esperienza comune che un corpo con una grande massa lontana dall'asse di rotazione sia più
"difficile" da far ruotare :
La "resistenza", l' "inerzia", che oppone un corpo al tentativo di farlo ruotare dipende allora dalla massa
del corpo e da come essa è distribuita. Più la massa di un corpo è distribuita lontano dall'asse di rotazione,
più il corpo oppone resistenza alla rotazione.
Questa "resistenza" si chiama momento d'inerzia ed è l'analogo rotazionale della massa inerziale con i
quali i corpi oppongono "resistenza" alle variazioni di velocità nei moti traslazionali.
La formula matematica che esprime il momento d'inerzia di un corpo ruotante attorno ad un asse è molto
semplice nel caso in cui tutta la massa del corpo può essere supposta concentrata in un solo punto (posto
ad una certa distanza dall'asse di rotazione) :
Essa si indica normalmente con la lettera I e vale :
dove m è la massa ed r è la sua distanza dall'asse di rotazione.
Nel caso di corpi più complessi, il calcolo del momento d'inerzia diventa difficile perché si deve fare
la sommatoria di tutti i singolo momenti d'inerzia "prodotti" dalle singole particelle che compongono
il corpo.
Riportiamo qui i risultati di alcuni casi particolari :
i cui momenti d'inerzia valgono :
(1) asta di lunghezza l con asse centrale :
(2) asta di lunghezza l con asse in un estremo :
(2) cilindro di raggio r :
(3) sfera di raggio r :
.
In tutti questi casi si suppone che la massa del corpo sia m e che essa sia distribuita uniformemente,
senza cioè che il corpo presenti parti più dense di altre. Le aste dei primi due casi, inoltre, sono da
considerarsi sottili.
E' molto interessante il caso del cilindro. Il suo momento d'inerzia è proporzionale al quadrato del raggio.
Per questo motivo, nell'ingegneria meccanica, i volani vengono costruiti con raggi molto grandi. Maggiore
è il raggio di un volano, a parità di massa, maggiore è il suo momento d'inerzia. Per questo motivo, mettere
in rotazione un volano è molto "faticoso" , e lo è altrettanto tentare di fermarne la rotazione.
04 - Dinamica rotazionale.
L'equazione che lega le forze agli effetti che esse producono nel moto rotazionale è analoga a quella del
moto traslazionale, la ben nota equazione di Newton :
.
Questo fatto è sorprendente e dimostra ancora una volta la "bellezza", la "sinteticità" e la "semplicità"
della descrizione che la fisica fornisce del mondo tramite il linguaggio matematico.
Cosi come, nella legge di Newton del moto traslazionale, la forza è direttamente proporzionale alla
accelerazione che essa produce, nel moto rotazionale il momento della forza è direttamente
proporzionale all'accelerazione angolare che si ottiene ed il coefficiente di proporzionalità è dato
dal momento d'inerzia.
Si ha cioè :
dove M è il momento della forza, I è il momento d'inerzia ed
è
l'accelerazione angolare (che
rappresenta la variazione della velocità angolare nell'unità di tempo, cioè
).
Fine.