Il concetto di intorno circolare è estremamente importante in matematica. Possiamo dire che esso
è sicuramente uno degli "oggetti" più utilizzati in ogni branca della matematica.
L' intorno circolare del punto x di raggio
è, come sappiamo, l'intervallo aperto 
.
Graficamente :
Con gli intorni circolari si può "esplorare" un sottoinsieme di R (della retta reale) ed individuare e
studiare molte proprietà di esso.
Come primo esempio, consideriamo l'usuale e molto interessante insieme
:
a cui, è bene ricordare, non appartiene il punto (numero) 0 , cioè
.
Consideriamo il punto 3/2 (anch'esso non appartenente ad A ) :
e prendiamo un suo intorno circolare così come rappresentato nel grafico :
escludendo da esso il punto 3/2 stesso (il perché di questa esclusione sarà chiaro più avanti). Chiamiamo
S l'intorno appena scelto.
Possiamo allora scrivere l'espressione :
che corrisponde appunto all'intervallo aperto
privato del punto 3/2 stesso.
Chiediamoci a questo punto quale sia l'intersezione fra l'insieme A e l'intorno S (con esclusione del
punto 3/2 ).
La risposta è ovviamente l'insieme vuoto
, cioè l'insieme A e l'insieme S , come si vede bene
dal
grafico, non hanno punti in comune, cioè :
ovvero, più semplicemente :
.
Se prendiamo un
maggiore, possiamo facilmente notare che detta intersezione non è più vuota.
Per
esempio, nel caso mostrato dal grafico :
l'intersezione fra A ed S fornisce il punto 1 , per cui :
ovvero :
.
Concludiamo allora che un intorno circolare di 3/2 (con esclusione del punto stesso) interseca o no
l'insieme di partenza A . Ribadiamo anche che 3/2 non appartiene ad A .
02 - Punto isolato.
Facciamo ora la stessa cosa con un punto che appartiene all'insieme A . Per esempio il numero 1 .
Abbiamo anche qui, come per 3/2 , due possibilità :
l'intersezione fra A ed un intorno circolare di 1 (con esclusione del punto stesso) può essere
vuota o non.
Per esempio :
(in questo caso l'intersezione è vuota)
oppure :
(in questo caso l'intersezione non è vuota, e fornisce 1/2 ).
Il caso in cui un punto di A abbia almeno un intorno circolare (escluso il punto stesso) che non interseca
A stesso (come nel presente caso) è molto importante. Un punto di A che soddisfa questo requisito
si chiama punto isolato di A .
Il nome "isolato", preso dal linguaggio comune, è, diremo, assolutamente adatto a descrivere la situazione
sopra presentata ! Abbiamo solo precisato il concetto di "essere isolato" dandone una definizione matematica
esatta.
La matematica, in effetti, prende in considerazione i concetti e le idee della "vita di tutti i giorni" e li rende
chiari ed esatti dando di esse definizioni non contraddittorie.
La proprietà di essere isolato che ha il numero 1 , lo ha anche il numero 1/2 e di conseguenza il numero
1/3 ecc. Possiamo ora concludere che tutti i numeri 1/n appartenenti ad A sono isolati ! L'insieme A
è costituito da punti isolati !
L'affermazione appena fatta è suffragata dal fatto che comunque si scelga una frazione 1/n , è sempre
possibile prendere un suo intorno circolare (con esclusione della frazione stessa) che non interseca gli altri
elementi di A .
Per esempio, se prendiamo il numero piuttosto piccolo 1/1000000 (un milionesimo), il successivo è
1/1000001 . Prendiamo allora un
pari a 1/1000000000 . Con questo
possiamo costruire un
intorno che non interseca A .
A questo punto ci rendiamo anche esattamente conto del fatto che, in queste considerazioni, abbiamo
escluso, costruendo l'intorno circolare di un punto, il punto stesso. Se non facessimo ciò, avremmo
sempre, nel caso di intorni di punti di A , una intersezione con A non nulla. Almeno avremmo il punto
stesso !
03 - Punto di accumulazione.
Adesso facciamo un importante passo avanti. Siccome, nel nostro esempio, le frazioni 1/n dell'insieme
A tendono a 0 al tendere di n all'infinito, cioè :
,
ed il punto 0 non appartiene ad A , chiediamoci cosa possa succedere prendendo un intorno circolare
S di 0 (con esclusione di 0 stesso) :
.
E' facile verificare che ogni intorno circolare di 0 (con esclusione di 0 ) interseca elementi dell'insieme
A per qualunque valore
del raggio dell'intorno (tenere sempre presente che
è positivo e quindi
non nullo).
Ciò significa che, nel nostro caso, vi sono sempre frazioni minori di qualunque
si voglia prendere.
Graficamente, per un dato
:
e per un altro
minore del precedente :
Abbiamo quindi verificato che per ogni valore positivo di
, un intorno circolare di 0 di raggio
(con esclusione di 0 ) interseca l'insieme A fornendo un insieme non vuoto.
Diciamo allora che 0 è un punto di accumulazione (o di aderenza) di A .
Il significato intuitivo di punto di accumulazione è chiaro. Quando un punto è punto di accumulazione di
un certo insieme, ogni intorno circolare di esso (del punto, con esclusione del punto stesso) contiene
elementi dell'insieme, cioè i punti dell'insieme si "accumulano", si "accatastano" sul punto stesso.
Il concetto di punto di accumulazione è di fondamentale importanza per tutta la matematica.
Diamo ora la definizione esatta di punto di accumulazione.
Si dice che x è punto di accumulazione dell'insieme A se :
cioè se l'intersezione fra un intorno circolare di x di raggio
(privato di x ) e
l'insieme A è diverso
dall'insieme vuoto per ogni
reale positivo.
Si noti che un punto di accumulazione dell'insieme A può appartenere o no all'insieme stesso.
Nell'esempio precedente, il punto di accumulazione 0 non appartiene all'insieme A .
04 - Esercizio di cinematica rotazionale.
La Terra ruota su se stessa compiendo un giro in 24 ore. Consideriamo due punti ( A e B ) posti
rispettivamente sull'equatore e sul 45° parallelo (circa la nostra latitudine). Vogliamo calcolare la
velocità periferica dei due punti (ignorando ogni altro moto, cioè rispetto ad un sistema di riferimento
nel quale la Terra viene vista solo ruotare su se stessa) e la velocità angolare della Terra stessa.
Nella rotazione, il punto A compie una circonferenza pari a
, dove R è il raggio terrestre (circa
6370 km ovvero
) in un tempo T di 24 ore (cioè T = 86400 s
).
La velocità periferica è spazio/tempo , quindi :
(dove
indica la velocità periferica di A ed il simbolo 
significa "circa uguale").
Nella rotazione, il punto B compie una circonferenza minore della precedente. Chiamiamo con r
il raggio di detta circonferenza e calcoliamolo tenendo presente che l'angolo
vale 45° .
Senza usare la trigonometria, possiamo notare che il triangolo OHB è metà di un quadrato di lato r
e diagonale R .
Graficamente :
Applicando il teorema di Pitagora possiamo scrivere :
che equivale a :
da cui ricaviamo :
.
Tenendo presente che, se due numeri positivi sono uguali, anche le loro radici quadrate sono uguali, possiamo
allora estrarre le radici di ambo i membri ed ottenere :
.
A questo punto dobbiamo tenere presente che la radice di un quadrato di un numero è il numero stesso,
cioè :
e che la radice di un rapporto è il rapporto delle radici, per cui :
.
Si ottiene allora :
che fornisce il raggio della circonferenza che compie il punto B nella rotazione terrestre.
La velocità periferica di B sarà allora :
.
Lasciamo al lettore volenteroso lo sviluppo dei calcoli. Si noti però il fatto molto importante che
non è la metà di
in quanto r non è la metà di R !!!
Dividere R per
non si dimezza R , perché
è circa 1,414 ... e non 2 .
Per quanto riguarda la velocità angolare della rotazione terrestre essa, come sappiamo, è la stessa in
ogni punto. Abbiamo allora :
(tenendo presente che l'angolo giro è
radianti e che la velocità angolare si misura in rad/s ).
Si noti che la velocità angolare della rotazione terrestre è un numero molto piccolo !
05 - Formula che lega la velocità periferica a quella angolare.
Consideriamo il moto circolare uniforme che compie un punto P attorno al centro 0 :
Sia r il raggio della circonferenza e
l'angolo compiuto dal punto P nel tempo t .
La velocità periferica di P è alllora :
dove s è la lunghezza dell'arco AP .
Siccome il moto in questione è uniforme, la velocità periferica è definibile prendendo qualunque altro
arco ed il risultato ottenuto è il medesimo. Prendiamo allora l'intera circonferenza
ed il tempo T
(periodo) impiegato a percorrerla. Abbiamo allora :
.
La velocità angolare è invece il rapporto fra un angolo compiuto ed il tempo impiegato a compierlo, per
cui :
.
Siccome il moto è uniforme, conviene prendere l'intero angolo giro, che in radianti misura
, ed il
periodo T in cui avviene l'intero giro. Si ha perciò :
.
Confrontando le due formule che danno la velocità periferica e quella angolare, è facile dedurre che :
.
Questa formula è di fondamentale importanza in fisica.
Fine.