La volta scorsa abbiamo analizzato i moti rotazionali soffermandoci sulle loro caratteristiche senza
però considerare le forze che li generano.
Iniziano ora ad analizzare i moti rotatori in relazione alle forze che li determinano.
Prendiamo un corpo rigido (nella fattispecie un'asta rettilinea) vincolato a ruotare attorno ad un asse.
Supponiamo che l'asta sia in equilibrio :
Applichiamo ora, casualmente, a distanze diverse dall'asse, due forze uguali (per esempio due pesi
uguali)
(ricordiamo che le forze sono grandezze vettoriali). Quello che si verifica, e
che è
facilmente prevedibile, è che l'asta cessa di essere in equilibrio e comincia a ruotare in un verso o
nell'altro :
Con questo semplice esperimento abbiamo provato un fatto molto importante :
le forze, da sole, non sono le uniche cause della rotazione.
Se nei moti rotatori avessero importanza solo le forze, applicando forze uguali ai lati opposti di un'asta in
equilibrio, si dovrebbe ottenere ancora una situazione di equilibrio.
Qualcos'altro entra "in gioco" nei moti rotatori ed è facile rendersi conto che l'altro "fattore" in gioco è la
distanza fra l'asse di rotazione e le direzioni (dette anche rette d'azione) delle forze applicate all'asta.
Bisogna subito precisare, però, che neanche la distanza dell'asse dai punti di applicazione delle forze è
sufficiente a descrivere la rotazione !!! Le forze possono in generale avere direzioni non perpendicolari
all'asta per cui si deve tenere presente che gli effetti rotatori dipendono da queste direzioni.
E' chiaro che se applichiamo un forza con un angolo ottuso, l'azione che se ne ottiene è minore di quella
che si otterrebbe con un angolo retto :
Addirittura, nel caso che l'angolo sia piatto (3' caso del precedente grafico) non si ha nessuna rotazione !!!
Poiché la semplice distanza fra il punto di applicazione della forza e l'asse non è sufficiente a descrivere
la rotazione che si ottiene, introduciamo il concetto di braccio della forza.
Il braccio della forza è la distanza della direzione della forza (la retta su cui giace la forza) dall'asse :
Si noti che nel caso di angolo retto (forza perpendicolare all'asta) il braccio coincide con la distanza dal
punto di applicazione della forza dall'asse 0 (1' caso).
Nel 2' caso (angolo ottuso) il braccio è minore di detta distanza per cui l'azione "rotatoria" della forza
è minore, mentre nel 3' caso il braccio è nullo e non vi è azione rotatoria della forza.
Possiamo quindi affermare che, a parità di intensità di forza, l'effetto di rotazione prodotto è maggiore
quanto maggiore è il braccio.
In tutti i casi, il braccio (la distanza fra asse e direzione della forza) si ottiene mandando la perpendicolare
fra l'asse e la retta direzione della forza.
02 - Momento.
A determinare l'entità della rotazione è quindi una "combinazione" di forza e braccio.
Per trovare la relazione matematica che esprime come forza e braccio contribuiscono assieme alla
rotazione di un corpo rigido, applichiamo forze diverse alla nostra asta degli esempi precedenti e facciamo
in modo che si pervenga sempre ad una situazione di equilibrio, così che la tendenza alla rotazione impressa
dalla forza applicata a sinistra dell'asse sia controbilanciata dalla tendenza opposta prodotta dalla forza
applicata a destra dell'asse :
Siano
e 
le due
forze e 
e 
i due bracci (si noti che, per comodità, abbiamo preso forze
perpendicolari all'asta). Facendo due prove, abbiamo ottenuto la seguente tabella :
(per comodità abbiamo misurato le forze in grammi e le distanze in centimetri).
Da essa risulta chiaro che, in situazione di equilibrio, il prodotto della forza di sinistra per il suo braccio è
uguale al prodotto della forza di destra per il suo braccio.
Possiamo quindi affermare che (in situazione di equilibrio) si ha :
forza 1 · braccio 1 = forza 2 · braccio 2 = costante.
Il prodotto di forza per braccio è una grandezza molto importante che viene chiamata momento.
Possiamo allora affermare che in situazione di equilibrio :
momento1 = momento 2 = costante.
Se invece ci troviamo in una situazione di non equilibrio, uno dei due momenti è maggiore dell'altro e
l'asta subisce una rotazione attorno all'asse dalla parte in cui il momento è maggiore :
Se applicassimo più forze all'asta potremmo calcolare i singoli momenti delle singole forze e sommarli.
Avremmo equilibrio quando la somma dei momenti delle forze applicate a sinistra (dell'asse) eguaglia
la somma dei momenti delle forze applicate a destra :
(forze e bracci non sono in scala).
Abbiamo allora :
.
03 - Il momento è un vettore.
Per esprimere in maniera più "elegante" e sintetica il fatto che in caso di equilibrio i due momenti
complessivi (quello delle forze applicate a sinistra dell'asse e quello delle forze applicate a destra)
sono uguali, si suppone che il momento sia una grandezza vettoriale.
Si suppone cioè che il momento sia un vettore che ha :
intensità pari alla forza per il braccio
direzione coincidente con l'asse di rotazione del corpo rigido (che è una retta !)
verso corrispondente all'avanzamento di una ipotetica vite destrorsa che segue la rotazione.
Cioè :
dove la forza ed il braccio giacciono sul piano a mentre l'asse di rotazione, e quindi il momento,
giacciono sul piano p .
Consideriamo ora due forze,
a
sinistra e
a destra, che agiscono sulla solita asta e da parti opposte.
Supponiamo che si abbia l'equilibrio. La forza
produce il momento 
e la forza
il momento
. Graficamente :
Siccome la forza
tende a fare ruotare l'asta in senso antiorario e la forza
in senso orario,
applicando la regola della vite destrorsa, la forza
produrrà un momento
che ha intensità
uguale all'intensità della forza per il rispettivo braccio, direzione coincidente con l'asse di rotazione e
verso in fuori (verso chi legge), mentre la forza
produrrà un momento
con stessa intensità
(forza per braccio), stessa direzione (quella dell'asse) ma verso opposto (in dentro). Graficamente :
I momenti
ed
risultano allora due vettori opposti (in situazione di equilibrio) per
cui la loro
somma vettoriale è nulla. Cioè :
.
Siamo quindi pervenuti all'elegante e sintetica formulazione della condizione di equilibrio che si può
esprimere affermando che la somma vettoriale dei momenti deve essere nulla.
04 - Esempio di momento.
Immaginiamo di aprire o chiudere una porta. Per fare questo dobbiamo applicare una forza il cui momento,
rispetto all'asse di rotazione della porta (l'asse congiungente i cardini), può essere rivolto verso l'alto o il
basso secondo la regola della vite destrorsa come indicato in figura :
05 - La retta reale.
I numeri reali, come già sappiamo, possono essere posti su di una retta :
che per questo viene chiamata retta reale.
I sottoinsiemi che si possono formare con i numeri reali soddisfano un grande numero di proprietà di
fondamentale importanza per l'intera matematica. Le proprietà dei sottoinsiemi di R costituiscono la
topologia della retta reale.
Molti concetti e proprietà dei sottoinsiemi di R che iniziamo qui a considerare sono estendibili a qualunque
spazio, anche a più dimensioni, e costituiscono il cuore della matematica.
06 - Sottoinsieme di R limitati e non limitati.
Sia A un sottoinsieme (non vuoto) di R . Se si verifica che :
cioè se esiste un numero reale positivo M tale che il valore assoluto di a (o modulo di a , cioè il numero
stesso reso positivo, se positivo o negativo, oppure lasciato nullo, se nullo) è minore o uguale ad M per
ogni numero a appartenente ad A , allora si dice che l'insieme A è limitato.
Facciamo il seguente esempio dove l'insieme A , sottoinsieme di R , è rappresentato dal grafico :
Come si vede bene, l'insieme A è limitato perché esiste sicuramente un numero positivo M per cui
ogni elemento a di A , preso in valore assoluto , è minore o uguale di quel numero M :
Se non si verifica la suddetta condizione, l'insieme A si dice non limitato.
Se si verifica che esiste un numero M (positivo, negativo o nullo) tale che
per
ogni a
appartenente ad A , allora si dice che A è limitato superiormente. Graficamente :
Se si verifica che esiste un numero M (positivo, negativo o nullo) tale che
per
ogni a
appartenente ad A , allora si dice che A è limitato inferiormente. Graficamente :
Ovviamente, se un insieme è limitato lo è anche superiormente ed inferiormente.
Facciamo altri esempi.
Sia
:
Si tratta di un insieme limitato (si noti che 0 non appartiene all'insieme A mentre 1 vi appartiene).
Sia
:
Esso è ovviamente un insieme limitato inferiormente.
07 - Estremi di un sottoinsieme di R .
Sia dato un insieme A di numeri reali (sottoinsieme di R ). Costruiamo allora l'insieme B formato dai
numeri che siano tutti maggiori o uguali di qualsiasi punto (nella topologia della retta reale, punto e
numero sono sinonimi) di A . Sia cioè :
.
Per esempio, se
, allora B è formato da tutti i numeri maggiori o uguali ad 1
:
Orbene, il primo elemento di B si chiama estremo superiore di A e si indica con
.
Nell'esempio precedente si ha :
.
L'estremo superiore di un insieme può appartenere o no all'insieme stesso. Se il
appartiene
all'insieme A , allora si chiama massimo di A e si indica con
.
Poiché nell'esempio di
si ha che 1 appartiene ad A , possiamo scrivere allora :
.
Viceversa, costruiamo l'insieme B formato dai numeri che siano tutti minori o uguali di qualsiasi
punto di A . Sia cioè :
.Rimanendo allo stesso esempio di
, B è allora formato da tutti i numeri minori o
uguali ad 0 :
Possiamo allora affermare che, in analogia con quanto sopra affermato, l'ultimo elemento di B si
chiama estremo inferiore di A e si indica con
.
Nell'esempio precedente si ha :
.
L'estremo inferiore di un insieme può appartenere o no all'insieme stesso. Se l'
appartiene
all'insieme A , allora si chiama minimo di A e si indica con
.
Sempre rifacendoci all'esempio molto interessante di
, siccome 0 non appartiene
all'insieme A , esso ne è l'estremo inferiore ma non il minimo.
La distinzione fra sup e max e fra inf e min è di grande importanza.
08 - Intervalli.
Consideriamo due numeri reali a e b tali che a sia minore di b . Possiamo allora costruire i seguenti
insiemi detti intervalli limitati :
intervallo limitato e chiuso di estremi a e b
intervallo limitato aperto a destra di estremi
a e b
intervallo limitato aperto a sinistra di estremi
a e b
intervallo limitato aperto a destra e a sinistra di estremi
a e b
Graficamente :
Questi intervalli si distinguono per "comprendere" o non "comprendere" gli estremi a e b !!!
Si possono costruire anche i seguenti intervalli non limitati :
intervallo illimitato chiuso a sinistra
intervallo illimitato aperto a sinistra
intervallo illimitato chiuso a destra
intervallo illimitato aperto a destra
Graficamente :
Grazie a questo nuovo simbolismo introdotto possiamo scrivere :
.
09 - Intorni circolari. Intorni.
Sia dato un punto (ricordiamo che numero e punto della retta reale sono sinonimi) x appartenente ad
R ed un numero
reale positivo. Si chiama intorno circolare di raggio
del punto x l'intervallo
aperto :
.
Graficamente :
L'aggettivo "circolare" dipende chiaramente dalla simmetria rispetto al punto x .
Il concetto di intorno circolare è di fondamentale importanza in topologia e può essere esteso a spazi a
maggiori dimensioni. Per esempio, un intorno circolare sul piano bidimensionale è una cerchio di raggio
e nello spazio tridimensionale
è una sfera di raggio
:
Per questi motivi l'intorno circolare si chiama anche sfera aperta.
Un sottoinsieme qualunque di R che contenga un intorno circolare di x si chiama semplicemente intorno
di x . Per esempio :
Le applicazioni del concetto di intorno circolare e di intorno sono di fondamentale importanza.
Occorre anche ribadire ancora una volta che il raggio
di un intorno circolare è un numero reale positivo
e mai nullo !!!
Fine.