Le grandezze fisiche sono essenzialmente di due tipi : gli scalari ed i vettori.
Gli scalari sono delle grandezze che per essere caratterizzate hanno bisogno di un solo numero. Per
esempio, il volume di una stanza, la superficie di un pavimento, la lunghezza di un segmento, la massa
di un corpo ecc. ecc. sono grandezze scalari.
Le grandezze scalari si sommano direttamente. Per esempio, il volume complessivo di un appartamento
è la somma dei volumi delle singole stanze.
Le grandezze vettoriali, invece, per essere definite hanno bisogno di intensità, direzione e verso.
Esempi di grandezze vettoriali sono la velocità, l'accelerazione, ecc. ecc.
La quantità di moto è un vettore, perché è il prodotto di massa (che è uno scalare) per velocità (che
è un vettore).
I vettori si indicano con lettere in grassetto o con una freccia sulle lettere stesse :
, 
.
Per sommare i vettori si deve usare la regola del parallelogramma :
Un vettore può essere anche scomposto nella somma di due vettori secondo due direzioni date. Anche
in questo caso si utilizza la regola del parallelogramma.
Per esempio, dato il vettore
e le direzioni 
ed 
(le direzioni
sono rette !!), si ottiene che il
vettore dato si scompone nella somma dei vettori
ed 
.
Naturalmente, si procede mandando
le parallele alle due rette e costruendo un parallelogramma :
02 - Conservazione della quantità di moto su due direzioni.
Negli esempi precedenti circa la legge di conservazione della quantità di moto, ci siamo quasi sempre
limitati al semplice caso di moti lungo una sola direzione (retta).
Vediamo ora in particolare cosa avviene se le quantità di moto (che sono rappresentate da vettori)
giacciono su direzioni diverse.
Consideriamo il caso di un urto con cambio di direzione, per esempio l'urto di una palla da biliardo
contro un'altra, ferma, che avvenga non esattamente nel centro. In questo caso la quantità di moto
della prima palla sarà uguale alla somma vettoriale delle due quantità di moto che le palle assumono
dopo l'urto, somma vettoriale che, come noto, si esegue con la regola del parallelogramma.
Sia
la
quantità di moto della palla 1 prima dell'urto. Siano 
e 
le
quantità di moto della
palla 1 e della palla 2 dopo l'urto. La quantità di moto della palla 2 prima dell'urto, essendo ferma,
è nulla. Si ha allora :
Possiamo allora scrivere :
dove la somma va intesa in senso vettoriale (regola del parallelogramma).
Possiamo dare al fenomeno dell'urto illustrato sopra una differente, ma equivalente, descrizione.
Immaginiamo di scomporre i due vettori dopo l'urto
e nelle
direzioni orizzontale e
verticale nel seguente modo :
Dalla figura si vede bene che le componenti
e 
sono
opposte e quindi si annullano a vicenda.
Rimangono in gioco le componenti
e 
che,
sommate, danno ,
la quantità di moto prima
dell'urto.
03 - Esempio di urto con un corpo fermo.
L'esempio che segue dimostra come la fisica, ed in particolare la legge di conservazione della quantità
di moto, sia così importante per la vita "pratica", anche se, in questo caso, si tratta di eventi "infausti".
Consideriamo che un'auto urti un'altra auto la quale, per esempio, sia ferma. Supponiamo che nell'urto
le due auto si uniscano assieme in modo da formare un unico corpo. Supponiamo anche che tutto
avvenga lungo una unica direzione.
Il problema, in questi casi, potrebbe essere quello di trovare la velocità
della macchina investitrice
per verificare se essa procedeva entro i limiti di velocità. Quando succede un incidente stradale, per
accertare le responsabilità vengono fatti calcoli in cui la legge di conservazione della quantità di moto
gioca un ruolo fondamentale.
Applicando detto principio possiamo scrivere :
da cui possiamo trovare la velocità incognita :
.
Si noti che la velocità v del corpo "unione" dei due va considerata all'istante dell'urto. Successivamente
essa tende rapidamente a zero a causa degli attriti con l'asfalto per cui, non essendo più il sistema isolato
perché interagente con l'esterno (l'asfalto, appunto), la legge di conservazione cessa di essere soddisfatta.
04 - Esempio di urto fra particelle. Esercizio per casa.
La legge di conservazione della quantità di moto è una legge universale. Essa vale per i corpi macroscopici
così come per quelli microscopici.
In questo esempio, che abbozzeremo solamente e la cui soluzione lasceremo al lettore volenteroso,
consideriamo un protone di massa
che urta alla velocità 
un nucleo
di elio. In seguito all'urto, il protone rimbalza (tornando indietro sulla stessa direzione) con una velocità
. Sapendo che la
velocità dopo l'urto del nucleo di elio è 
, si calcoli
la massa del nucleo di elio. Si consideri il nucleo di elio immobile prima dell'urto.
05 - Calcolo dei limiti delle successioni. Programma al computer.
La definizione di limite di una successione vista la volta scorsa permette solamente di verificare la veridicità
di un limite. Essa, quindi, non permette in nessun modo di calcolarlo.
Per calcolare il limite di una successione non esistono regole o formule predefinite. Alcuni teoremi ci
possono venire in aiuto ma, in generale, il calcolo di un limite è una operazione non predefinita. Vi sono
delle successioni per cui si intuisce facilmente il limite, come per esempio le semplici
e 
i cui
limiti
sono rispettivamente 0 e 1 , ed altre successioni, invece, per cui non è possibile pervenire ad un risultato
in modo semplice. E' questo il caso dell'importante successione :
che ha come limite il numero di Nepero "e" (che vale circa 2,718... ) per cui possiamo scrivere :
.
Il numero di Nepero "e" non è definibile "esattamente" perché si tratta di un numero irrazionale, quindi
con infiniti decimali non periodici. In questo caso, come nei casi analoghi, ci si deve accontentare di una
approssimazione del limite.
Tale approssimazione può essere ottenuta in maniera molto efficiente con un l'aiuto del computer. Fino
a qualche decennio fa, per eseguire i calcoli, si utilizzavano tavole numeriche basate sui logaritmi. Poi vi
fu l'avvento delle calcolatrici elettroniche ed infine del computer che è diventato, data la sua potenza,
lo strumento principe del matematico.
Vediamo ora come si imposta il programma al computer per disegnare una successione e per calcolarne
il limite in modo approssimato.
Mostreremo qui solo il "flow chart" (organigramma o diagramma di flusso) del programma e non il
medesimo scritto con un linguaggio di programmazione particolare in quanto tutti i linguaggi per
computer, pur diversi nella sintassi, in effetti sono simili e fanno le stesse cose. Ci limiteremo quindi
al "flusso" del programma dal punto di vista concettuale.
Mostreremo poi, successivamente, il risultato ottenuto con un programma reale nel caso della successione
tenendo presente che questo programma può essere usato per qualunque
successione.
Il flow chart di un programma che disegna punto per punto una successione e ne calcola il limite
approssimato è il seguente :
Descriviamo le istruzioni che lo compongono passo per passo.
- 1 - inizio
il programma inizia.
- 2 - input SUCC
con questa istruzione si comunica al computer la formula della successione. Nel nostro
caso
.
- 3 - input NMAX
viene comunicato al computer il numero massimo di n , superato il quale il programma si
deve fermare.
- 4 - N = 1
la variabile N viene posta uguale ad 1 .
- 5 - VALSUCC = eval(SUCC)
viene valutata, calcolata, la successione contenuta nella variabile SUCC relativamente
al valore della variabile N ed il risultato viene posto nella variabile VALSUCC . Al primo
passaggio, essendo N = 1 , VALSUCC sarà posto uguale a
.
- 6 - draw VALSUCC
viene disegnato nel grafico cartesiano il valore VALSUCC della successione.
- 7 - N = N + 1
questa istruzione, apparentemente "strana" dal punto di vista matematico, permette di
incrementare di 1 il valore della variabile N . Essa fa sì che ad N venga aggiunto 1
ed il risultato trovato vada posto nella variabile stessa N . In effetti una forma più giusta
per questa istruzione sarebbe
, cioè "incrementa N di 1 e sostituisci
ad N stesso il valore trovato", ma nel linguaggio informatico si usa il segno di "="
invece della freccia.
- 8 - ? N = NMAX + 1
questa istruzione esegue una domanda alla quale corrispondono due possibilità,
risposta affermativa o negativa. Con questa istruzione il programma controlla se N ,
che viene incrementato di 1 ad ogni passaggio, ha raggiunto il valore NMAX + 1 ,
raggiunto il quale, il programma deve terminare. Senza questa istruzione il programma
entrerebbe in un loop (ciclo) infinito ed il computer si bloccherebbe. Se la risposta
del test è negativa, significa che la variabile N non ha ancora raggiunto il valore
finale ed il flusso del programma deve andare fra le istruzioni 4 e 5 e procedere di
conseguenza. Se la risposta è positiva, vuol dire che è stato raggiunto il valore massimo
di N per cui il programma deve terminare.
- 9 - output VALSUCC
viene visualizzato (per esempio sullo schermo del computer) il valore della successione
corrispondente al valore massimo NMAX .
- 10 - fine
il programma termina.
Di seguito riportiamo il grafico della successione
elaborata dal programma "Successione
in R" disponibile alla pagina :
http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/calcolonumericolnx.htm
(per informazione, il programma in questione è stato scritto utilizzando il linguaggio PHP),
La successione
viene disegnata fino al valore n = 100 ed il limite, così
approssimato, risulta :
2,7048138294215
che approssima così il numero di Nepero "e" . Aumentando il valore di n , si ottiene ovviamente una
approssimazione migliore. Per n = 1.000.000 si ottiene :
2,7182804690957 .
Fine.