Consideriamo due carrelli collegati da un filo e fra cui è posta una molla in tensione. Le masse dei due
carrelli sono
e 
(consideriamo la massa della molla trascurabile).
Supponiamo che gli attriti siano trascurabili.
Ad un certo istante tagliamo il filo che tiene uniti i due carrelli. La molla si distende e comunica una
forza ai due carrelli che cominceranno a muoversi con velocità opposte.
Misurando queste velocità si verifica che, come intuitivamente potevamo supporre, la velocità che
acquista il corpo di massa doppia è esattamente la metà dell'altra. Cioè :
.
Supponiamo che sia
e 
.
Possiamo allora verificare facilmente che il prodotto fra la massa e la velocità del primo corpo è
uguale al prodotto fra la velocità e la massa del secondo corpo. Cioè :
e :
.
D'altra parte, prima che la molla scattasse, quando i carrelli erano uniti, le velocità erano nulle per cui
si aveva :
e :
.
Ma le velocità sono grandezze vettoriali dotate di intensità, direzione e verso, per cui, se consideriamo
positivo il verso di
, avendo 
verso opposto, per i copi dopo che è scattata la molla dovremo
scrivere
e 
. Di
conseguenza avremo :
e :
.
Arriviamo quindi ad una importantissima constatazione :
la somma dei prodotti di massa e velocità (considerata come vettore) prima e dopo lo
scatto della molla è nulla.
Ovvero :
.
Da queste considerazioni sembra proprio che il prodotto fra la massa e la velocità di un corpo in fisica
giochi un ruolo importante ! Per questo motivo si dà un nome ben preciso a questo prodotto. Esso si
chiama quantità di moto.
Intuitivamente, il significato fisico della quantità di moto è che non basta la velocità per specificare "quanto
moto" possiede un corpo. Gli effetti, per esempio, che producono due corpi dotati della medesima velocità,
ma di massa diversa, in un urto sono diversi !
Siamo allora pervenuti ad una nuova legge di natura.
In un sistema isolato (cioè un sistema di corpi isolato dall'esterno) considerato rispetto ad un sistema di
riferimento inerziale, la quantità di moto totale (ovvero la somma delle quantità di moto, intese in
senso vettoriale, dei singoli corpi che costituiscono il sistema) è costante nel tempo, ovvero si conserva.
Riferendoci all'esempio precedente, la quantità di moto totale dei due carrelli (che costituiscono un sistema
con buona approssimazione isolato, in quanto gli attriti sono ridotti al massimo e la forza di gravità (il loro
peso) è neutralizzata dal tavolo su cui i carrelli sono posti) rispetto al tavolo (che si può considerare essere
un buon sistema di riferimento inerziale) prima dello scatto della molla è nulla perché le velocità sono nulle.
Dopo lo scatto della molla abbiamo due quantità di moto diverse da zero, ma con valori opposti, per cui la
loro somma, la quantità di moto totale del sistema, è ancora zero.
Zero prima, zero dopo : la quantità di moto complessiva del sistema non è cambiata nel tempo, essa si è
conservata !
Dobbiamo però a questo punto precisare che la legge di conservazione della quantità di moto non è
propriamente una nuova legge della dinamica, indipendente dalle altre, da aggiungere alle tre leggi di
Newton. Essa in effetti deriva matematicamente dalla 2' e 3' legge di Newton.
Infatti, considerando l' "istante" dello scatto della molla, per il 3' principio della dinamica, il corpo 1
esercita sul corpo 2 una forza uguale in intensità ma opposta in verso a quella esercitata dal corpo
2 sul corpo 1 . Supponiamo che tale forza sia F = 50 N .
D'altra parte, per il 2' principio della dinamica si ha F = m·a da cui le accelerazioni che subiscono i
due corpi risultano in intensità :
e :
.
Supponiamo che il tempo in cui il corpo 1 spinge sul corpo 2 sia uguale al tempo in cui 2 spinge
contro 1 . Supponiamo che tale tempo sia t = 0,4s . Allora siamo in grado di calcolare la velocità finale
dei due corpi al momento della cessazione dell'azione della molla. Siccome si tratta di moti uniformemente
accelerati si ha quindi :
e :
.
Moltiplicando le masse per le velocità si ottiene infine :
e :
.
Da cui si vede che la quantità di moto si conserva. Abbiamo quindi dimostrato che la legge di conservazione
della quantità di moto non è un a "nuova" legge di natura, ma deriva direttamente dai principi di Newton.
02 - Esempi di conservazione della quantità di moto.
Consideriamo i seguenti esempi :
- 1 - Urto fra due corpi con "unione" dei due dopo l'urto.
Supponiamo che il corpo 1 proceda con velocità costante
(senza attriti e
rispetto ad un sistema di riferimento inerziale). Supponiamo che il corpo 2 sia fermo. I due
corpi abbiano ciascuno una massa m = 80kg .
Ad un certo istante, il corpo 1 urta il corpo 2 ed i due corpi si "uniscono" formando un
corpo unico di massa M = 160 kg . E' evidente che il corpo che così si forma procederà
con velocità v diversa da quella del corpo 1 prima dell'urto.
Applichiamo la legge di conservazione della quantità di moto.
Prima dell'urto la quantità di moto totale era :
(il corpo 2 era fermo)
Dopo l'urto la quantità di moto totale deve essere la stessa. Quindi, essendo la massa del
corpo che si forma pari a M = 160 kg , si deve avere :
.
La velocità dopo l'urto risulta allora dimezzata, come era "logico" aspettarsi.
- 2 - Fucile.
Un fucile ha una massa molto grande rispetto alla massa di un proiettile. Prima di sparare, la
quantità di moto totale (del fucile e del proiettile) è nulla. Quando si spara, il proiettile esce a
grande velocità mentre il fucile rincula a bassa velocità in modo che la quantità di moto del
proiettile uguagli in intensità la quantità di moto del fucile (rendendo così la quantità di moto
totale ancora nulla).
(trascuriamo la quantità di moto dei gas prodotti dall'esplosione).
- 3 - Bomba.
Quando una bomba esplode, le schegge vengono scaraventate in tutte le direzioni. Per il
principio di conservazione della quantità di moto, la somma di tutte le quantità di moto
(naturalmente intese come vettori) delle schegge (e delle particelle dei gas sprigionati
dall'esplosione) è nulla, se era nulla la quantità di moto della bomba prima di esplodere.
- 4 - Motore a reazione.
Il motore a reazione che spinge gli aerei ed i missili funziona proprio grazie al principio di
conservazione della quantità di moto. Il gas che fuoriesce dal motore a reazione è formato
da innumerevoli particelle di massa molto piccola ma dotate di velocità molto grande. In
questo modo, come per il rinculo del fucile, il missile o l'aereo avanza nel verso opposto
a quello del gas.
Si noti che il motore a reazione, per far sì che l'aereo o il missile si muova, non ha bisogno
di aria, a differenza dei sistemi ad elica !
03 - Un simbolo per la quantità di moto.
La quantità di moto è una grandezza fisica che si indica comunemente con la lettera p per cui :
p = m · v
E' una grandezza vettoriale (perché lo è la velocità) e si misura in :
kg · m / s ,
cioè :
chilogrammo x metro / secondo.
04 - Distanza fra due punti della retta reale.
Introduciamo ora un concetto di straordinaria importanza in matematica (ed in fisica !!!) che non ci
abbandonerà mai più e lo facciamo nel caso molto semplice della retta reale, ovvero della retta
orientata su cui poniamo i numeri reali (naturali, interi, razionali, irrazionali).
Stiamo parlando della distanza fra due punti.
Consideriamo allora i due punti A e B della retta reale a cui corrispondono i due numeri reali a e b .
Se b è maggiore di a , cioè b > a , allora la distanza fra i due punti, che si indica con d(a,b) , è data
semplicemente dalla differenza :
d(a,b) = b - a .
Se, invece, a è maggiore di b , cioè a > b , allora il punto B precede A :
e la distanza è di conseguenza data da :
d(a,b) = a - b .
E questo perché la distanza è sempre un numero positivo (o nullo se i due punti coincidono). La distanza
non può essere mai negativa !!!
Nel definire la distanza fra due punti di una retta abbiamo allora due definizioni, a seconda della posizione
reciproca dei due punti. Potremmo pervenire invece ad una sola definizione ? Ovvero, come definiamo la
distanza se non sappiamo quale dei due numeri è il maggiore ?
Per questo, ci viene in aiuto una apposita operazione, il valore assoluto (detto anche modulo) che si
indica con le sbarrette verticali | | .
Il valore assoluto di un numero è lo stesso numero, se questo è positivo o nullo, oppure è quel numero
cambiato di segno, se esso è negativo. Per esempio :
|10| = 10
|0| = 0
|-4| = 4 .
In "pratica" il valore assoluto fa diventare tutti i numeri positivi (o nulli, se tali già sono).
Possiamo perciò, utilizzando il valore assoluto, scrivere una sola definizione di distanza:
d(a,b) = |a - b|
che si legge "la distanza fra i punti a e b (di cui non sappiamo a priori chi è il maggiore) è data dal valore
assoluto della differenza fra i due numeri".
Facciamo alcuni esempi di distanza :
a = 7 , b = 5 ==> d(a,b) = |7 - 5| = |2| = 2
a = 2 , b = 5 ==> d(a,b) = |2 - 5| = |-3| = 3
a = -1 , b = -4 ==> d(a,b) = |-1 - (-4)| = |-1 + 4| = |3| = 3
a = -9 , b = -4 ==> d(a,b) = |-9 - (-4)| = |-9 + 4| = |-5| = 5 .
Il concetto di distanza si può estendere ad un qualunque tipo di spazio (entro particolari restrizioni che
studieremo bene più avanti).
05 - Definizione di limite di una successione.
La volta scorsa abbiamo introdotto il concetto di limite a livello "intuitivo". Ora proviamo a dare una
definizione di limite più esatta.
Consideriamo la successione
formata dai numeri :
.
Si dice che il limite della successione
per 
è il
numero a e si scrive :
oppure :
se, al crescere di n , il valore della successione si "avvicina sempre più" al numero a .
Questa non è ancora la definizione esatta di limite, ma già ne dà un un'idea intuitiva molto precisa. Risulta
chiaro da quanto detto che il concetto di limite si riferisce al concetto di distanza (implicita nella parola
"avvicinarsi").
Come possiamo rendere con un linguaggio matematico ancora più esatto questo concetto ? Diciamo allora
che la successione
per tende al
numero a , ovvero che
, se :
Abbiamo voluto utilizzare in profondità il linguaggio matematico, che è una vera e propria "stenografia",
perché è altamente sintetico ed incisivo.
Infatti, la definizione di limite si legge così :
"per ogni epsilon (
) appartenente all'insieme dei numeri reali positivi ( 
) esiste un n-epsilon
(
) appartenente all'insieme dei numeri naturali ( N ) tale che la distanza fra il
valore 
della
successione ed il valore a del limite è minore di epsilon (
) per ogni valore di n appartenente
a numeri naturali ( N ) maggiore di n-epsilon (
) ".
Consideriamo il seguente esempio grafico :
Da esso appare chiaro che la distanza fra i valori
ed il limite a è minore di un fissato
positivo
per ogni n maggiore di
.
Se prendessimo un altro valore di
sempre positivo ma questa volta minore del precedente, otterremmo
per esempio :
In questo caso, per ogni n maggiore di
si ha che la distanze fra il valore di
ed il limite a
è minore di quel valore scelto di
.
Orbene, se per ogni valore
reale positivo si verifica ciò, possiamo affermare la veridicità del
limite,
ovvero che
tende ad a per n tendente all'infinito.
Si noti che gli
devono essere numeri reali positivi e quindi diversi da 0 .
Fine.