Newton riuscì a sintetizzare la descrizione dei fenomeni della meccanica e della gravitazione nelle
tre leggi della dinamica e nella legge della gravitazione universale. Si tratta del primo, e
forse più grande, processo di unificazione del sapere scientifico. In poche leggi, espresse in
forma matematica, vengono descritti una infinità di fenomeni naturali.
Non ci stancheremo mai di sottolineare la grandezza, la potenza e la bellezza della mirabile sintesi
che Newton operò nel tentativo di comprendere le leggi di natura !!!
Ricordiamoli :
- 1 - 1' principio della dinamica o principio d'inerzia (già scoperto da Galileo) : un corpo
non soggetto a forze, si muove con velocità costante (in intensità, direzione e verso)
(rispetto ad un sistema di riferimento inerziale).
- 2 - 2' principio della dinamica : una forza che agisce su un corpo gli imprime una
accelerazione (variazione di velocità) proporzionale alla forza stessa (il coefficiente
di proporzionalità si chiama massa). Il principio si esprime matematicamente con la
nota formula F = m · a .
- 3 - 3' principio della dinamica : ad ogni forza corrisponde una forza contraria (uguale in
intensità ed in direzione, ma contraria in verso).
- 4 - Legge di gravitazione universale : due corpi si attirano con un forza gravitazionale
che è direttamente proporzionale alle masse dei corpi ed inversamente proporzionale
al quadrato della loro distanza (calcolata rispetto ai loro centri di massa).
02 - Sul concetto di massa. Massa inerziale. Massa gravitazionale.
Il concetto di massa è uno dei concetti della fisica più "complicati" da definire.
Una prima definizione intuitiva che di solito si dà, afferma che essa è la quantità di materia che un
corpo possiede. Questa definizione è però solo qualitativa (cosa significa infatti quantità di materia ?)
ed ha il solo pregio di introdurre facilmente nell'argomento.
La massa, come ogni grandezza fisica, deve essere misurabile. Ecco allora che la definizione di
quantità di materia non può essere adeguata essendo troppo vaga.
Per definire la massa allora occorrono le leggi, espresse in formule matematiche, che la invocano.
Esistono quindi due tipi di massa :
la massa inerziale, quella che compare nella formula del 2' principio della dinamica :
e la massa gravitazionale, quella che compare nella formula della legge di gravitazione :
.
Si tratta di due tipi di massa diversi, perché definiti in fenomeni di tipo diverso e quindi da formule
matematiche diverse.
Quanto qui affermato può stupire alquanto : fino ad ora abbiamo parlato di un solo tipo di massa !
Ma vediamo allora di dare una definizione più precisa dei due tipi di massa.
La massa inerziale indica la "resistenza" che un corpo oppone alla variazione del suo stato
di moto.
Infatti, se applichiamo una stessa forza a due corpi diversi, otteniamo differenti accelerazioni.
Se per esempio applichiamo una forza di 100 N (newton) ad un corpo di massa inerziale 10.000 kg
otteniamo una accelerazione pari a :
.
Se invece applichiamo la stessa forza ad un corpo di massa inerziale 5 kg , otteniamo l'accelerazione
.
Un corpo di massa inerziale maggiore oppone una maggiore "resistenza" alla variazione del suo stato di
moto per cui, a parità di forza, si ottiene una accelerazione minore. Un corpo di massa inerziale minore
oppone una minore "resistenza" alla variazione del suo stato di moto per cui, a parità di forza, si ottiene
una accelerazione maggiore.
A causa della formula F = m · a che esprime il 2' principio della dinamica, possiamo quindi definire
la massa inerziale come il rapporto :
.
Per calcolare la massa inerziale di un corpo basta allora dividere la forza che agisce su di esso per la
accelerazione che esso subisce. A parità di forza, maggiore accelerazione significa massa inerziale
minore, minore accelerazione significa massa inerziale maggiore (più precisamente, accelerazione e
massa inerziale sono inversamente proporzionali).
La massa gravitazionale indica la "capacità" che hanno i corpi di attirarsi gravitazionalmente.
La forza gravitazionale che si instaura fra due corpi è, ripetiamo, direttamente proporzionale alle masse
dei corpi ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza (calcolata rispetto ai loro centri
di massa).
Qual è il legame fra i due tipi di massa ?
L'esperienza mostra però che massa inerziale e massa gravitazionale sono legate fra loro (per
questo motivo si giustifica l'uso dello stesso temine "massa").
In effetti, grazie ad esperimenti sofisticati, si verifica che massa inerziale e massa gravitazionale
coincidono (con grande precisione), e questo fatto non è ovvio tanto da rappresentare una nuova
legge di natura che Einstein chiamò principio di equivalenza. L'equivalenza fra i due tipi di massa
costituisce la base logica su cui si fonda la teoria della relatività generale.
03 - Perché al tramonto il sole appare più rosso.
La luce "bianca" del sole è composta di varie frequenze (dal rosso al violetto). Con un prisma, per
esempio, si ottiene la loro separazione (si pensi anche all'arcobaleno).
La luce del sole, attraversando l'atmosfera che è composta da vari gas, impurità ecc. , ne viene in
qualche modo "scomposta". La componente blu-violetta viene diffusa ("sparpagliata" in tutte le
direzioni) e progressivamente assorbita. E' per questo che il cielo appare blu. La componente rossa,
invece, prosegue nel suo percorso nell'atmosfera molto meno disturbata.
Quando il sole è allo zenit (sopra le nostre teste), lo spessore di atmosfera che i suoi raggi attraversano
è minimo ed a terra arrivano ancora molti raggi di colore blu-violetto.
Al tramonto, invece, la luce del sole attraversa molta più atmosfera, per cui la maggioranza della luce
blu-violetta viene diffusa ed assorbita. A terra arriveranno in maggioranza le frequenza rosse.
Ecco la spiegazione scientifica dei meravigliosi e romantici ... tramonti rossi.
04 - Perché la luna appare rossa durante una eclissi di luna.
Per gli stessi motivi per cui i tramonti appaiono rossi, la luna, durante una eclissi totale di luna, appare
rossastra.
Infatti, quando la luna entra nel cono d'ombra della terra, essa è colpita dai raggi di sole che, resi
rossastri a causa della diffusione ed assorbimento delle frequenze blu-violette, e deviati nella loro
traiettoria, colpiscono infine la luna.
(grafici su scala arbitraria).
05 - Successioni reali.
Le successioni di numeri reali sono delle funzioni da N ad R . Cioè :
,
dove N è l'insieme dei numeri naturali
ed R è l'insieme dei numeri reali.
Facciamo alcuni esempi :
- 1 - La successione
.
Questa successione fra i numeri naturali è rappresentabile dal seguente grafico cartesiano :
Si noti che, al crescere di n , il valore di
cala sempre di più, avvicinandosi sempre
più allo zero, senza però mai raggiungerlo. Infatti non esiste nessun numero naturale n
per cui si abbia
in quanto quell'eventuale numero, moltiplicato per 0 , dovrebbe
dare 1 e, come si sa, tutti i numeri moltiplicati per 0 danno come risultato 0 .
Abbiamo così introdotto intuitivamente il concetto di limite. Scriveremo quindi :
e diremo "il limite della successione
per n tendente all'infinito è 0 "
Daremo una definizione più rigorosa di limite già dal prossimo incontro. Premettiamo
solo che il concetto di limite è di fondamentale importanza ed è alla base dell'intero
calcolo differenziale. Si pensi solo che derivate ed integrali sono dei limiti.
- 2 - La successione
.
I valori della successione al variare di n sono :
Che corrisponde al grafico cartesiano :
Si noti che i valori di questa successione tendono al valore 1 . Possiamo allora scrivere :
.
- 3 - La successione
.
Il suo grafico cartesiano è :
Questa successione, a differenza delle precedenti, ha un "comportamento" tale per cui,
al crescere di n , il suo valore cresce indefinitamente. In questo caso si dice che il limite
della successione è più infinito e si scrive :
.
Si noti che abbiamo scritto
, specificando il segno dell'infinito, perché una
successione, se acquistasse valori negativi sempre più grandi (in valore assoluto),
tenderebbe a meno infinito (
).
- 4 - La successione
.
I valori della successione al variare di n sono :
Si noti l'alternanza del segno meno ! Ciò dipende dal fatto che -1 elevato ad un
esponente pari dà +1 , mentre, elevato ad un esponente dispari, dà -1 .
Il grafico cartesiano di questa successione è :
In questo caso, al crescere di n , la successione ha un comportamento oscillante. Essa
assume valori alternativamente positivi e negativi. In questo caso il limite non esiste, perché
il comportamento della successione non è definito in modo "preciso", si potrebbe dire che
detto comportamento è "ambiguo".
Fine.