Sinteticamente :
- a - Un insieme si dice finito se non esiste nessun suo sottoinsieme proprio ad esso equipotente
(si dice che due insiemi sono equipotenti se esiste una corrispondenza biunivoca fra essi).
- b - La cardinalità di un insieme finito è il numero dei suoi elementi.
- c - Un insieme si dice infinito se possiede un sottoinsieme proprio ad esso equipotente.
- d - L'insieme dei numeri naturali N è un insieme infinito.
- e - La cardinalità di N è
.
- f - Gli insiemi equipotenti ad N si dicono numerabili ed hanno cardinalità
.
02 - Esempi di insiemi numerabili.
Presentiamo qui due importanti esempi di insiemi numerabili.
- a - L'insieme
.
Si tratta del prodotto cartesiano di N per N , ovvero dell'insieme di tutte le coppie ordinate
che si ottengono prendendo il primo elemento in N così come il secondo :
.
Rappresentiamo l'insieme
graficamente :
dove i punti di intersezione rappresentano le coppie ordinate di
.
Ora "inventiamo" un modo di "contare tutte" queste coppie ordinate. Così facendo
introduciamo una corrispondenza biunivoca fra N ed
grazie alla quale potremo
affermare che
è
un insieme numerabile.
Consideriamo il grafico :
Da esso si vede bene che abbiamo introdotto una corrispondenza biunivoca fra N ed
. Gli insiemi N ed
sono perciò equipotenti. Abbiamo così definito un
modo di "contare tutti" gli elementi di
(le
coppie ordinate).
La corrispondenza biunivoca che abbiamo introdotto è la seguente :
Sottolineiamo il fatto che in questa corrispondenza non rimane esclusa nessuna coppia
ordinata di
.
Avendo introdotto una corrispondenza biunivoca fra N ed
, essendo cioè i due
insiemi equipotenti, possiamo affermare che
è numerabile ed ha cardinalità
.
- b - L'insieme dei numeri razionali Q .
L'insieme dei numeri razionali è formato da tutte le frazioni di numeri interi (positivi,
negativi e lo zero) con denominatore non nullo. Cioè :
dove I è l'insieme dei numeri interi (positivi, negativi e lo zero):
.
Per comodità, nel ragionamento che segue ci limitiamo ai soli numeri razionali positivi :
prevedendo che ciò che dimostreremo per
varrà anche per 
(numeri razionali negativi),
mentre per il numero 0 , se avremo dimostrato che
e sono
numerabili, lo sarà anche la loro
unione e tale sarà anche con l'aggiunta del solo numero 0 .
Intuitivamente possiamo immaginare di fare corrispondere ad ogni frazione positiva
la coppia
ordinata (m,n) di
. Possiamo perciò creare una corrispondenza fra Q ed
.
Per esempio :
.
Per questo motivo, l'insieme Q è numerabile, cioè posso "contarne tutti" gli elementi, così
come lo è
.
In effetti, le cose sono complicate dal fatto che una frazione corrisponde a più coppie
ordinate di
,
per esempio :
,
ma il concetto non cambia.
Basterà, per ovviare all'inconveniente, saltare dalla "conta" le coppie ordinate "equivalenti",
che corrispondono cioè allo stesso numero razionale.
Il fatto che l'insieme dei numeri razionali è numerabile è di fondamentale importanza.
03 - Insiemi infiniti non numerabili. Insiemi continui.
L'insieme N dei numeri naturali è un insieme infinito numerabile. L'insieme dei numeri razionali Q è un
insieme infinito numerabile.
Sorge a questo punto spontanea una domanda : esistono insiemi infiniti non numerabili, cioè che siano
infiniti ma che non siano equipotenti ad N ?
La risposta è affermativa !
Consideriamo il sottoinsieme dei numeri reali R compresi fra 0 ed 1 e ricordiamo che l'insieme dei
numeri reali R è formato dai numeri razionali Q e dai numeri irrazionali (
dove e
è l'importantissimo numero di Nepero che vale 2,718... ). Ricordiamo anche che un numero reale può
essere posto in forma decimale.
I numeri razionali corrispondono a numeri decimali con un numero finito di decimali dopo la virgola
oppure a numeri decimali periodici. I numeri irrazionali corrispondono invece a numeri decimali con
infiniti decimali non periodici.
Per il nostro scopo, per motivi di univocità, consideriamo che un numero decimale a finiti decimali può
essere scritto anche nella forma periodica ad infiniti decimali non nulli nel seguente modo :
.
Esprimiamo, cioè, ogni numero razionale come fosse un numero decimale periodico.
Proviamo a dimostrare allora che l'insieme dei numeri reali compresi fra 0 e 1 (che chiamiamo per
comodità A , ponendo
(si noti che abbiamo escluso per convenienza lo 0 )) è
un insieme infinito ma non numerabile.
Che A sia un insieme infinito è piuttosto ovvio, per cui ne omettiamo la dimostrazione. Proviamo ora a
dimostrare che A non è numerabile.
Per fare questo procediamo per assurdo. Immaginiamo, cioè, contrariamente alla tesi, che A sia
numerabile. Se questo portasse ad una contraddizione, allora vorrebbe dire che A non è numerabile.
Se A (per assurdo) è numerabile, allora è equitotente ad N , cioè esiste una corrispondenza biunivoca
fra N ed A che possiamo esprimere nel seguente modo :
Sottolineiamo il fatto che immaginiamo di "elencare" tutti gli elementi di A e che a ciascuno di essi
facciamo corrispondere uno ed un solo numero naturale.
A questo punto "costruiamo" un numero decimale fra 0 ed 1 nel seguente modo :
consideriamo la prima cifra decimale del primo numero del precedente grafico. Se è uguale ad 1
scriviamo 2 , se invece è diverso da 1 , scriviamo 1 .
consideriamo la seconda cifra decimale del secondo numero del precedente grafico. Se è uguale ad 1
scriviamo 2 , se invece è diverso da 1 , scriviamo 1 .
consideriamo la terza cifra decimale del terzo numero del precedente grafico. Se è uguale ad 1
scriviamo 2 , se invece è diverso da 1 , scriviamo 1 .
ecc. ecc. per tutti i numeri dell'elenco (che corrispondono, secondo a quanto affermato sopra, con
tutti gli elementi di A )
Otteniamo così :
Il numero ottenuto, che chiamiamo x , è sicuramente diverso da tutti i gli elementi di A !!!
Il numero x risulta allora escluso dalla corrispondenza biunivoca fra N ed A . Ma, d'altra parte, x
è un numero compreso fra 0 ed 1 ad appartenente ad A .
Per questo motivo, esistendo un elemento di A fuori dalla corrispondenza biunivoca, l'insieme A non
può essere numerabile. Abbiamo così dimostrato che l'insieme dei numeri reali compresi fra 0 ed 1 ,
pur essendo un insieme infinito, non è un insieme numerabile.
L'insieme A si dice che è un insieme continuo e che ha cardinalità
.
Anche l'insieme dei numeri reali R è di conseguenza un insieme continuo.
04 - Ipotesi del continuo.
L'insieme dei numeri razionali Q è numerabile ed ha cardinalità
. L'insieme dei numeri reale R è
continuo ed ha cardinalità
.
Esiste una cardinalità "intermedia" fra
ed ? La
risposta non è deducibile da nessuna altra
definizione, teorema od assioma precedente. Cantor risolse il problema introducendo un apposito assioma,
la cosiddetta "ipotesi del continuo". Secondo questa ipotesi (indimostrabile), non esiste una cardinalità
intermedia fra
ed .
05 - Numeri cardinali finiti e transfiniti.
Fino ad ora abbiamo visto che un insieme finito ha cardinalità n (dove n è il numero degli elementi che
lo costituiscono), un insieme numerabile ha cardinalità
ed un insieme continuo ha cardinalità
.
Senza entrare nei particolari (che esulerebbero dallo scopo introduttivo di questi semplici appunti), possiamo
affermare che, data una cardinalità qualunque, ne esiste sempre una maggiore.
Quindi arriviamo alla sorprendente conclusione che oltre
esistono infinite cardinalità.
Abbiamo allora così definito una nuova classe di numeri : i numeri cardinali. Essi possono essere
riassunti nel seguente schema :