La legge di gravitazione universale è, come sappiamo, espressa dalla formula matematica :
dove F rappresenta la forza gravitazionale con cui si attirano due corpi, G è la costante di gravitazione
universale,
ed 
sono le
masse dei due corpi e d è la distanza fra i centri di massa dei due
corpi.
Consideriamo ora due esempi di applicazione della legge di gravitazione universale.
02 - Calcolo della massa del sole.
Consideriamo il moto della terra attorno al sole. Esso avviene su di una traiettoria che può essere
considerata circolare (in effetti l'orbita è ellittica, ma la distanza fra i due fuochi dell'ellisse è
relativamente piccola, per cui l'orbita può considerarsi pressoché circolare).
La terra è attirata dal sole dalla forza gravitazionale
che la "costringe" a percorrere un'orbita
circolare (quasi). Se sulla terra non agisse nessuna forza essa, per il primo principio della dinamica,
si muoverebbe di moto rettilineo uniforme (e non circolare !).
La forza gravitazionale che fa percorrere alla terra una traiettoria circolare è uguale alla forza centripeta
che, come sappiamo, è
presente quando un corpo compie una traiettoria circolare.
Scriviamo allora :
.
Il perché queste due forze sono uguali dipende dal fatto che sulla terra agisce la sola forza gravitazionale
prodotta dal sole (le altre, prodotte da altri corpi celesti, sono trascurabili) per cui, in questo caso, possiamo
affermare che :
la forza centripeta coincide con la forza gravitazionale.
La formula della forza centripeta, come già sappiamo, è :
dove m è la massa della terra, v è la velocità periferica della terra attorno al sole ed R è la distanza
terra-sole.
Uguagliando la formula della forza gravitazionale con quella della forza centripeta otteniamo :
dove con M abbiamo indicato la massa del sole e con m quella della terra ( R è la distanza terra-sole).
Da questa equazione possiamo ricavare l'incognita M (la massa del sole) con alcuni semplici passaggi.
Se dividiamo entrambi i membri dell'equazione per la massa della terra m , che vi è presente in entrambe,
otteniamo :
.
Dividere entrambi i membri di una uguaglianza per uno stesso numero (purché diverso da 0 ) non cambia
l'uguaglianza stessa. Per esempio, l'uguaglianza :
rimane un'uguaglianza se dividiamo ambo i membri per 2 :
perché si ottiene :
6 = 6 .
Tornando alla formula da cui ricaveremo la massa del sole, semplificando le m , si ottiene :
.
Se moltiplichiamo ambo i membri (facendo questo l'equazione non cambia, analogamente a quando
si divide ambo i membri per uno stesso numero) dell'equazione per R (che è presente in entrambi i
denominatori) otteniamo :
da cui, semplificando le R :
Ora moltiplichiamo ambo i membri ancora per R e dividiamo per G . Otteniamo così :
,
da cui, semplifichiamo, perveniamo al risultato :
che fornisce finalmente la massa del sole cercata.
Tenendo presente che la costante di gravitazione universale vale (circa) :
,la velocità periferica di rotazione della terra attorno al sole è (circa) :
e che la distanza terra-sole è (circa) :
,sostituendo questi valori nella formula che dà la massa del sole e calcolando, otteniamo infine :
(il simbolo
significa "circa uguale").
La "potenza" della formula di Newton della gravitazione universale è incredibile !!! Con semplici calcoli
siamo in grado di determinare con buona precisione la massa della nostra cara stella !!!
03 - Calcolo della velocità di un satellite in orbita.
Consideriamo un satellite artificiale in orbita circolare attorno alla terra. Perché esso non cada o si
disperda nello spazio (così come nel caso dei pianeti attorno al sole) occorre che la forza centripeta
che lo fa ruotare su un'orbita circolare sia uguale alla forza di gravità con cui la terra lo attira a sé.
Supponiamo che il raggio della terra sia R e la distanza del satellite dalla superficie terrestre sia h
(si noti che che h normalmente è piccola rispetto ad R ). Uguagliando la forza di gravità con la forza
centripeta, come nell'esempio precedente, possiamo scrivere :
(dove M è la massa della terra, m la massa del satellite).
Dividendo ambi i membri dell'equazione per m e moltiplicando per (R + h) , semplificando si ottiene :
ovvero :
.
Per ricavare il valore della velocità v basta fare la radice quadrata del secondo membro, cioè :
.
Lasciamo al lettore volenteroso il compito di calcolare numericamente questa velocità per valori diversi
a piacere di h (i valori di R ed M sono riportati nel resoconto dell'incontro precedente).
Se non fosse chiaro il perché abbiamo posto v = radice quadrata ... , potremmo notare che se una
certa quantità A al quadrato vale 16 , la quantità A sarà uguale a 4 , ovvero alla radice quadrata
di 16 . Cioè se :
allora :
.
In verità, anche il valore negativo -4 , se elevato al quadrato, dà 16 , ma qui noi consideriamo solo
grandezze positive.
04 - L'infinito in matematica.
In matematica ogni concetto deve essere definito in modo esatto, senza che vi sia alcun adito ad
imprecisioni od ambiguità. Il concetto di infinito non fa eccezione. Vedremo qui come si definisce
l'infinito anche se ciò potrebbe sembrare togliere un po' della "poesia" e del "mistero" che lo circondano.
Getteremo luce su un argomento "misterioso" scoprendo che, sorprendentemente, il suo "fascino" permane
inalterato anche se proiettato dal dominio dell'irrazionalità a quello della ragione, da "poesia dell'irrazionale"
a "poesia della ragione"
Dobbiamo al grande matematico Georg Cantor (1845-1918), oltre all'intera fondazione della teoria
degli insiemi, la definizione di infinito, anzi, come vedremo in seguito, degli infiniti, perché di "tipi di
infinito" ve ne sono addirittura ... infiniti.
05 - L'insieme
.
Consideriamo l'insieme :
che è formato da tutti i numeri naturali (appartenenti ad N ) in "fila" da 1 al numero n che può avere
qualunque valore naturale. Per esempio :
, 
, 
, 
, ecc.
Questo semplice insieme è di fondamentale importanza per la definizione di infinito.
06 - Insiemi equipotenti.
Consideriamo due insiemi qualunque A e B . Se fra essi esiste una corrispondenza biunivoca
(corrispondenza è sinonimo di funzione) allora si dice che A e B sono equipotenti.
Esempio :
Se, viceversa, fra A e B non esiste nessuna corrispondenza biunivoca, i due insiemi non sono
equipotenti.
Esempio :
(come si vede bene dal grafico, un elemento di B resta sempre escluso).
Consideriamo ora un insieme
, per esempio l'insieme
, ed un suo sottoinsieme
proprio , per esempio
. E' ovvio che fra l'insieme 
ed il suo sottoinsieme proprio A
non vi è alcuna corrispondenza biunivoca. Diciamo allora che
ed A non sono equipotenti.
Si può dimostrare facilmente che ogni insieme
non ha sottoinsiemi propri equipotenti ad esso.
Sottolineiamo che i sottoinsiemi in questione debbono essere sottoinsiemi propri, ovvero non devono
essere mai uguali agli insiemi di cui sono sottoinsiemi.
07 - Insiemi finiti ed infiniti.
Tutti gli insiemi
allora godono di questa semplice proprietà, di non avere sottoinsiemi
propri
equipotenti ad essi.
Diremo che un insieme qualunque è finito se è equipotente ad un insieme
per un certo valore
di n .
Il numero n rappresenta il numero degli elementi di quell'insieme finito e si chiama anche
cardinalità dell'insieme. La cardinalità di
è allora 3 e la cardinalità dell'insieme
è 2 . L'insieme vuoto
ha cardinalità 0 .
Ovviamente, un insieme finito non possiede sottoinsiemi propri ad esso equipotenti. Che ne è allora
degli insiemi che possiedono sottoinsiemi propri ad assi equipotenti ?
Essi sono detti insiemi infiniti.
Abbiamo così dato in modo assai "semplice" ed "elegante" la definizione "esatta" di infinito !!!
Un insieme è infinito, ripetiamo, se possiede almeno un sottoinsieme proprio ad esso equipotente.
Vedremo oltre che il concetto di cardinalità (ovvero "quanti" elementi contiene un insieme) può essere
esteso anche agli insiemi infiniti.
08 - Insiemi numerabili. Cardinalità
(alef 0).
Consideriamo l'insieme dei numeri naturali
. Intuitivamente possiamo affermare che
esso è un insieme infinito. In matematica, però, l'intuito non è sufficiente a dimostrare una affermazione,
anzi, a volte può indurre in errore se non suffragato da una dimostrazione "esatta". Cerchiamo allora di
dimostrare che N è un insieme infinito.
Secondo la definizione data sopra, un insieme è infinito se possiede un sottoinsieme proprio ad esso
equipotente.
Consideriamo l'insieme dei numeri naturali pari
.
Esso è sicuramente un sottoinsieme
proprio di N . Inoltre P è equipotente ad N , cioè esiste una corrispondenza biunivoca fra di essi
che possiamo visualizzare nel grafico :
Per questi motivi deduciamo che l'insieme dei numeri naturali N è un insieme infinito (come,
d'altra parte, ci aspettavamo che fosse).
Di più, l'insieme N ed ogni insieme equipotente ad N si dice che è un insieme numerabile e che
ha cardinalità
(alef 0).
Abbiamo così esteso il concetto di cardinalità dagli insiemi finiti a quelli infiniti !!!
L'insieme dei numeri pari, allora, è numerabile (perché equipotente ad N ). Anche l'insieme dei
numeri dispari
è numerabile così come l'insieme dei quadrati dei numeri
naturali
ecc.
Vedremo la prossima volta che esistono insiemi infiniti ma non numerabili, che quindi non hanno
cardinalità
.
Fine.