Newton scoprì la legge della gravitazione universale attorno alla metà del '600. Si dice che egli
fosse rifugiato in campagna durante una epidemia di peste e che un giorno, dalla caduta di una mela,
egli intuisse l'universalità della forza di gravità.
La rivoluzione copernicana stava producendo una profonda trasformazione in tutti i campi del
sapere umano. Ad un tratto non era più la terra al centro dell'universo, ma tutto orbitava attorno
al sole. Certe affermazioni della Bibbia erano da questa teoria messe in discussione e soprattutto
la "posizione" dell'uomo, come centro del creato, era ridimensionata.
L'ipotesi copernicana, infine, "costringeva" gli scienziati a chiedersi perché i corpi ruotassero attorno
al sole, in quanto la filosofia di Aristotele non era più sufficiente a soddisfare questi interrogativi. Si
cominciava a ricercare il "perché scientifico" della cose, si iniziava a produrre teorie scientifiche che,
tramite il linguaggio della matematica, fossero in grado di essere verificate dalle osservazioni e dagli
esperimenti secondo il nuovo modo di "pensare la natura" introdotto da Galileo.
Newton pubblicò (nel 1686) le sue scoperte sulla gravità, assieme ai principi della meccanica, in un
testo fondamentale per il pensiero scientifico, solo dopo una ventina d'anni da quelle intuizioni. Non
si sa se la storia della mela sia vera o no, ma sicuramente è verosimile.
Se la mela cade, per il principio d'inerzia (già scoperto da Galileo), una forza deve agire su di essa, se
no essa dovrebbe permanere nel suo stato di quiete. Anche la luna, per ruotare attorno alla terra, deve
risentire dell'azione di una forza (centripeta) che le fa compiere un moto circolare (non rettilineo uniforme).
Newton intuì che la forza che fa cadere la mela è la stessa che fa ruotare la luna attorno alla terra !
Newton scoprì che la forza gravitazionale è una forza universale, che agisce qui sulla terra e fuori da
essa, in ogni luogo dell'universo. La fisica di Aristotele distingueva invece fra la terra ed il cielo e proponeva
due "modelli" diversi. I "corpi terrestri", "corruttibili", cadendo, tendevano a ricongiungersi alla terra che li
aveva generati. I "corpi celesti", invece, essendo "incorruttibili", ruotavano su orbite "perfette" (circolari)
attorno alla terra.
Newton, invece, tramite il metodo scientifico, con esperimenti ed osservazioni, trova una formula
matematica in grado di spiegare i fenomeni "terrestri" così come quelli "celesti".
La formula della gravitazione universale di Newton afferma essenzialmente che la forza gravitazionale fra
due corpi è direttamente proporzionale alle masse dei due corpi ed inversamente proporzionale al
quadrato della distanza fra essi.
Anche Hooke aveva intuito la natura della gravitazione (prima di Newton !) ma non era giunto ad una
sua formulazione matematica esatta. Newton, pur essendo a conoscenza delle scoperte di Hooke, non
ne fece mai menzione nei suoi scritti e per questo i rapporti fra i due scienziati deteriorarono presto
(Newton era noto anche per il suo ... caratteraccio).
La teoria della gravitazione universale di Newton rappresenta il primo grande esempio di unificazione
delle leggi fisiche della storia :
tutti i fenomeni gravitazionali presenti nell'universo vengono spiegati con una semplice
formula !!!
La caduta dei gravi qui sulla terra, il moto della luna e dei pianeti attorno al sole, il moto delle stelle, tutti
questi fenomeni sono descritti con grande precisione da una semplice formula !
I viaggi spaziali, poi, qualcuno ha detto, sono una "applicazione" tecnologica della formula di Newton !
02 - Formulazione matematica della forza di gravità.
Consideriamo due corpi materiali, che per semplicità considereremo sferici ed omogenei, di massa
e 
, posti ad una distanza d fra i loro centri (che coincidono, data la
simmetria sferica, con i
loro centri di massa o baricentri, punti in cui si può considerare concentrata tutta la massa dei corpi) :
La formula matematica che descrivere la forza di gravità che si instaura fra due corpi è :
dove F è la forza di gravità e G è la cosiddetta costante di gravitazione universale.
Come abbiamo già affermato, questa forza è direttamente proporzionale alle masse dei corpi ed
inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra essi.
Il fatto che la forza di gravità è proporzionale alle masse, significa che, per esempio, raddoppiando una
di esse, la forza raddoppia.
Il fatto che la forza di gravità è inversamente proporzionale a quadrato della distanza, significa che se,
per esempio, la distanza raddoppia, la forza diventa un quarto.
03 - Costante di gravitazione universale.
La costante di gravitazione universale G vale, nel sistema di misura internazionale (S.I.) circa,
e si misura in
(ovvero newton per metro quadro fratto chilogrammo quadro).
Il motivo di questa "strana" unità di misura è molto semplice. Esprimendo la formula di Newton nelle
unità di misura corrispondenti alle grandezze in gioco, si ottiene :
.
Sostituendo poi l'unità di misura di G definita sopra si ha :
da cui, semplificando, si ottiene l'identità N = N (newton = newton) come deve essere.
La costante G è una costante molto piccola che vale in tutto l'universo ed il cui valore può essere ricavato
in molti modi (osservando il moto dei corpi celesti, per esempio, ma anche con misure fatte sulla terra).
Una delle misure terrestri "classiche" di essa è stata eseguita da Cavendish (1798) usando un pendolo a
torsione.
Si tratta di un filo appeso che viene fatto ruotare dall'azione della forza di gravità fra masse applicate
alla sua estremità e masse fisse. Il filo, ruotando, si oppone con una forza di reazione alla debole forza
gravitazionale fra le masse. Questa forza può essere misurata facilmente conoscendo le proprietà di
torsione del filo.
Usando poi la formula della forza gravitazionale, si ricava direttamente G .
04 - Esempio di applicazione della legge di gravitazione universale.
Consideriamo un corpo di 70 kg e chiediamoci con quale forza gravitazionale (il suo peso) esso è
attratto dalla terra.
Sia m la massa del corpo (pari a 70 kg ) e sia M la massa della terra (pari a circa
kg ).
Sia R il raggio terrestre (circa
m ). Applicando la formula di Newton si ha allora :
(mettiamo alla fine le unità di misura).
Eseguiamo ora i calcoli applicando le proprietà delle potenze (ed usando la notazione scientifica, che
consiste nell'utilizzare le potenze di 10 e di esprimere ogni numero in unità seguite dalla parte decimale ) :
.
Abbiamo così calcolato la forza (in newton) con cui questo corpo di 70 kg è attratto dalla terra utilizzando
la legge della gravitazione universale, la stessa che agisce fra stelle, pianeti, ovunque.
Come possiamo verificare l'esattezza di questo risultato ? Noi sappiamo che ogni corpo, qui sulla superficie
terrestre, cade con la stessa accelerazione che è indipendente dalla massa del corpo (consideriamo l'attrito
con l'aria trascurabile). Questa accelerazione, detta accelerazione di gravita, è denominata con g e vale
circa 9,81 m/s² (la si può misurare direttamente con tutta la precisione che si vuole)
Per la seconda legge della dinamica si ha :
F = m · g
per cui otteniamo :
.
Questo risultato è "coerente" con quello trovato in precedenza (la differenza dipende dalle approssimazioni
effettuate).
05 - Ripasso sui logaritmi.
Ripasso sulla definizione di logaritmo e semplici esempi.
06 - Cenni sulla storia del logaritmo.
Il concetto di logaritmo risale a Nepero (John Napier, teologo scozzese 1550-1617).
Il matematico inglese Henry Briggs (1556-1630) perfezionò l' idea di Nepero e pubblicò nel 1617 (anno
della morte di Nepero) un libro contenente i logaritmi in base 10 dei numeri da 1 a 1000 .
I logaritmi in base 10 sono detti logaritmi decimali o volgari e venivano usati per "velocizzare" i calcoli
prima dell'avvento delle calcolatrici e dei computer.
Il grande matematico svizzero Eulero (Leonhard Euler, 1701-1783) introdusse successivamente il numero
irrazionale e = 2,718 ... che chiamò numero di Nepero in onore dell'inventore dei logaritmi.
Egli pose questo numero come base dei logaritmi che per questo vengono chiamati logaritmi neperiani o
naturali.
Il perché fu introdotto un tale numero così "complicato" a fungere da base per i logaritmi, è da ricercarsi
nelle particolari ed importanti proprietà analitiche che la funzione logaritmo naturale ha (le vedremo in
seguito quando studieremo le derivate).
07 - Numero di Nepero.
Il numero di Nepero e può essere definito nei seguenti modi :
- 1 - Come limite della successione :
ovvero il limite della successione :
; 
; 
;
ecc. ecc.
per n tendente all'infinito.
- 2 - Come limite della sommatoria (serie) :
ovvero :
.
In futuro approfondiremo i concetti di limite, successione e serie.
08 - Potenze a esponente frazionario.
Le radici possono essere espresse in forma di potenze ad esponente frazionario. Per esempio :
.
Il perché di questo risulta molto semplice se si considera che la radice è l'operazione inversa della
potenza e se si estende la proprietà della potenza di potenza agli esponenti frazionari :
.
Analogamente si ha :
, 
, 
.
In generale si ha :
.
dove a indica un numero.
Fine.