Supponiamo che un osservatore (chiamiamolo per brevità A ) si trovi su di un autobus che si muove
di moto rettilineo uniforme rispetto alla Terra. Supponiamo inoltre che l'osservatore stia in piedi e che
l'attrito fra i suoi piedi ed il pavimento dell'autobus sia trascurabile.
L'osservatore A , fermo rispetto all'autobus, si muove rispetto alla Terra con la stessa velocità dell'autobus
(in intensità, direzione e verso). Supponiamo che ad un certo punto l'autobus curvi a sinistra. L'osservatore
A si sentirà spinto verso destra e, essendo libero di muoversi senza attrito rispetto al pavimento dell'autobus,
effettivamente si sposterà verso destra.
L'osservatore A, applicando la legge d'inerzia, dirà che ad un certo momento, essendo cambiato il
suo stato di moto rispetto all'autobus, una forza avrà agito su di lui.
Consideriamo ora un osservatore esterno, che chiameremo B , solidale con la Terra, che osserva
la posizione di A dentro l'autobus. Per B , l'osservatore A si muove di moto rettilineo uniforme,
perché è solidale con l'autobus. Anche quando l'autobus curva a sinistra, per B , A continua a muoversi
di moto rettilineo uniforme per il principio d'inerzia, in quanto egli non subisce l'attrito con il pavimento.
Per B non succede nulla di strano: A continua a muoversi con la stessa velocità (in intensità, direzione
e verso) che aveva prima della curva. Non è A che si sposta verso destra, ma è l'autobus che gira a
sinistra sotto i suoi piedi mentre A continua a muoversi di moto rettilineo.
Siamo allora di fronte a due "verità" apparentemente in contraddizione fra loro: A osserva una forza
che lo spinge verso la sponda destra dell'autobus, mentre per B non avviene nulla di particolare ed A
continua a muoversi normalmente di moto rettilineo uniforme.
Addirittura, A potrebbe legarsi un dinamometro (strumento per misurare le forze che è essenzialmente
una molla) alla cintola e collegarlo al bordo sinistro dell'autobus. In questo modo A potrebbe misurare
concretamente la forza che lo spinge verso destra ed essere così ancora più ... convinto dell'esistenza
di una forza.
Per B , invece, il dinamometro misurerebbe la forza centripeta che costringe A a percorrere una
traiettoria curva. Per l'osservatore B , la forza in questione è una "normalissima" forza centripeta,
mentre per A essa è una forza dalla natura inspiegabile. Infatti non è una forza gravitazionale, non è
una forza elettrica, non è una forza nucleare. Non resta che concludere che non c'è nessuna forza
che agisce su di A, ma è la legge d'inerzia che non vale nel sistema di riferimento dell'autobus.
L'autobus durante la curva diventa un sistema di riferimento rotante, quindi accelerato (accelerazione
centripeta) rispetto alla Terra. In questo sistema di riferimento rotante non vale più la legge d'inerzia. Si
tratta quindi di un sistema di riferimento non inerziale.
Se però introduciamo in questo sistema di riferimento una forza diretta verso l'esterno (verso destra nel
caso del nostro esempio), assegnandole il valore misurato dal dinamometro, la legge d'inerzia è ancora
valida: l'osservatore A si sposta verso destra perché sottoposto all'azione di questa forza. Diamo a questa
forza il nome di forza centrifuga. Si tratta di una forza non reale, ma apparente, fittizia, che però svolge
un ruolo di grande utilità:
l'introduzione della forza centrifuga consente ad A di considerare il proprio sistema di
riferimento non inerziale alla stregua di quelli inerziali e di applicare in esso le stesse
leggi di Newton valide per i sistemi inerziali.
L'osservatore A esperimenta anche, e ciò è di grande importanza, che il proprio sistema di riferimento
possiede una peculiarità fondamentale : esso è tale per cui le accelerazioni centrifughe sono le
stesse per tutti i corpi, indipendentemente dalla loro massa. Se accanto ad A (che consideriamo un
osservatore adulto) vi fosse un osservatore bambino, anche quest'ultimo subirebbe, nella curva, la
stessa accelerazione centrifuga.
Esempi :
- 1 - la centrifuga della lavatrice
l'acqua fuoriesce dal cestello ruotante della lavatrice perché, vista da un osservatore
esterno, essa tenderebbe a proseguire "per la tangente" per il principio d'inerzia, mentre
invece il cestello ruota
- 2 - astronave ruotante
per evitare i gravi problemi medici ai muscoli ed alle ossa indotti dalle lunghe permanenze in
assenza di gravità , per viaggi spaziali in programma per il prossimo futuro si pensa di creare
una gravità artificiale nelle navicelle spaziali. Siccome, in un sistema di riferimento ruotante
le accelerazioni centrifughe sono le stesse per ogni corpo, indipendentemente dalla massa
esattamente come qui, sulla superficie terrestre (l'accelerazione di gravità è g = 9.8 m/s²
circa per ogni corpo), si potrebbe fare vivere l'equipaggio in astronavi ruotanti (come nel
film "2001 : odissea nello spazio").
02 - Potenze.
Con i numeri reali si possono fare le quattro usuali operazioni + - · / .
Con i numeri reali si possono fare anche le potenze che, però, con costituiscono una nuova operazione.
Si tratta in effetti di una sequenza di moltiplicazioni.
La potenze sono molto utili perché con esse è possibile mettere in forma abbreviata e compatta numeri
anche molto grandi e perché soddisfano importanti ed utili proprietà.
Per esempio, la distanza terra-sole è di 150.000.000 km . Questo numero può essere scritto come:
km
oppure, come si usa nella notazione rappresentazione scientifica (la stessa delle calcolatrici elettroniche) :
km .
Ancora, la terra dista da Alpha Centauri 40.000.000.000.000 km . Usando le potenze si ha :
km .
Il vantaggio di usale le potenze (specialmente quelle a base 10 ) è innegabile !
Una potenza, quindi è un "oggetto" matematico in cui un numero funge da base ed un altro da esponente :
La definizione di potenza è la seguente :
la potenza è il prodotto di fattori uguali alla base tante volte quanto indicato dall'esponente.
Per esempio :
.
Si noti che
per
cui l'operazione di elevamento a potenza non è commutativa rispetto allo
scambio
fra base ed esponente.
La potenza ammette due tipi diversi di operazione inversa : la radice ed il logaritmo.
Usando le lettere invece dei numeri, cosa molto comoda in matematica perché ci permette di ottenere
formule generali valide per tutti i numeri, la definizione di potenza vale :
dove la moltiplicazione è effettuata n volte.
Si noti che n deve essere un numero intero maggiore di 1 . Questa precisazione è necessaria perché
per avere un prodotto occorrono almeno due fattori. Vedremo più avanti come sia possibile definire
potenze con esponente 1 , 0 o addirittura negativo.
Se la base è 10 , si ha la semplice regola che il numero che si ottiene è formato da 1 seguito da un numero
di 0 pari all'esponente. Esempi :
.
03 - Proprietà delle potenze.
Le potenze soddisfano le seguenti fondamentali proprietà :
- 1 - il prodotto di due potenze di ugual base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa
base e per esponente la somma degli esponenti :
.
Esempio :
.
- 2 - il quoziente di due potenze di ugual base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa
base e per esponente la differenza degli esponenti :
.
Esempio :
.
- 3 - la potenza di una potenza è uguale ad una potenza di ugual base elevata ad un esponente
uguale al prodotto degli esponenti :
.
Esempio :
.
04 - Esponenti ... particolari.
Nella definizione di potenza abbiamo posto la condizione che l'esponente debba essere maggiore di 1,
quindi possa prendere i valori 2, 3, 4 ...
Cosa succede se immaginiamo di elevare una base ad un esponente uguale a 1 , a 0 o addirittura ad
un numero negativo ?
Secondo la definizione di potenza data in precedenza, queste operazioni sarebbero impossibili. E' però
possibile una loro definizione estendendo il concetto di potenza, considerandola in senso più generalizzato.
Queste operazioni sono allora possibili (sotto certe condizioni) e la loro definizione è tale da "salvare" le
proprietà delle potenze. Useremo allora le proprietà delle potenze per definire questi nuove operazioni.
Vediamo in dettaglio :
- 1 - esponente uguale a 1 :
Consideriamo la divisione 10 ³ / 10 ² = 1000 / 100 = 10 .
Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato sarebbe
.
Non abbiamo ancora definito
. Se definiamo
, la seconda proprietà delle potenze rimane valida.
Generalizzando questo risultato a tutti i numeri, possiamo scrivere :
.
- 2 - esponente uguale a 0 :
Consideriamo la divisione 10 ² / 10 ² = 100 / 100 = 1 .
Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato sarebbe
.
Non abbiamo ancora definito
.Se definiamo
, la seconda proprietà delle potenze rimane valida.
Generalizzando questo risultato a tutti i numeri, possiamo scrivere :
.
Si noti che si deve porre la condizione
perché non si può dividere per zero.
- 3 - esponente negativo :
Consideriamo la divisione
.
Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato sarebbe
.
Non abbiamo ancora definito
.Se definiamo
, la seconda proprietà delle potenze rimane valida.
Generalizzando questo risultato a tutti i numeri, possiamo scrivere :
.
Si noti che si deve porre la condizione
perché non si può dividere per zero.
Fine.